Description
沫沫最近在玩一个二维的射箭游戏，如下图所示，这个游戏中的$x$轴在地面，第一象限中有一些竖直线段作为靶子，任意两个靶子都没有公共部分，也不会接触坐标轴。沫沫控制一个位于$(0,0)$的弓箭手，可以朝$0$至$90$°中的任意角度(不包括$0$°$,90$°)，以任意大小的力量射出带有穿透能力的光之箭。由于游戏中没有空气阻力，并且光之箭没有箭身，箭的轨迹会是一条标准的抛物线，被轨迹穿过的所有靶子都认为被沫沫射中了，包括那些只有端点被射中的靶子。这个游戏有多种模式，其中沫沫最喜欢的是闯关模式。在闯关模式中，第一关只有一个靶子，射中这个靶子即可进入第二关，这时在第一关的基础上会出现另外一个靶子，若能够一箭双雕射中这两个靶子便可进入第三关，这时会出现第三个靶子。依此类推，每过一关都会新出现一个靶子，在第$K$关必须一箭射中前$K$关出现的所有K个靶子才能进入第$K+1$关，否则游戏结束。沫沫花了很多时间在这个游戏上，却最多只能玩到第七关“七星连珠”，这让她非常困惑。于是她设法获得了每一关出现的靶子的位置，想让你告诉她，最多能通过多少关。
Input
第一行是一个正整数$N$，表示一共有$N$关。
接下来有$N$行，第$i+1$行是用空格隔开的三个正整数$x_i,y_{i,1},y_{i,2}(y_{i,1}<y_{i,2})$，表示第$i$关出现的靶子的横坐标是$x_i$，纵坐标的范围是从$y_{i,1}$到$y_{i,2}$。
Output
仅包含一个整数，表示最多的通关数。
Sample Input
5
2 8 12
5 4 5
3 8 10
6 2 3
1 3 7
Sample Output
3
HINT
$N\;\leq\;100000$,且给出的所有坐标不超过$10^9$。
Solution
二分$K$.
对于前$K$关,如果能过,则存在一条抛物线$y=ax^2+bx$,满足$y_{i,1}\;\leq\;ax_i^2+bx_i\;\leq\;y_{i,2}$,即关于$a,b$的不等式方程组$ax_i^2+bx_i-y_{i,1}\;\geq\;0,ax_i^2+bx_i-y_{i,2}\;\leq\;0$有解.
即求半平面交.
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 200010
#define eps 1e-13
#define INF 1e15
using namespace std;
typedef long double ld;
struct point{
ld x,y;
}p[N];
struct line{
point s,e;int n;ld an;
}l[N],a[N],q[N];
int n,m,h,t,lef,rig,mid,cnt;
inline int read(){
int ret=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c))
c=getchar();
while(isdigit(c)){
ret=(ret<<1)+(ret<<3)+c-'0';
c=getchar();
}
return ret;
}
inline ld rd(){
int ret=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c))
c=getchar();
while(isdigit(c)){
ret=(ret<<1)+(ret<<3)+c-'0';
c=getchar();
}
return (ld)(ret);
}
inline ld sqr(ld x){
return x*x;
}
inline point add(point x,point y){
return (point){x.x+y.x,x.y+y.y};
}
inline point dec(point x,point y){
return (point){x.x-y.x,x.y-y.y};
}
inline point mul(point x,point y){
return (point){x.x*y.x,x.y*y.y};
}
inline point div(point x,point y){
return (point){x.x/y.x,x.y/y.y};
}
inline ld mult(point x,point y){
return x.x*y.y-x.y*y.x;
}
inline bool cmp(line x,line y){
if(x.an==y.an) return mult(dec(x.e,x.s),dec(y.s,x.s))>0;
return x.an<y.an;
}
inline point inter(line a,line b){
ld s1,s2,t;point ret;
s1=mult(dec(b.e,a.s),dec(a.e,a.s));
s2=mult(dec(a.e,a.s),dec(b.s,a.s));
t=s2/(s1+s2);
ret.x=b.s.x+(b.e.x-b.s.x)*t;
ret.y=b.s.y+(b.e.y-b.s.y)*t;
return ret;
}
inline bool chk(line x,line y,line z){
point a=inter(x,y);
return mult(dec(a,z.s),dec(z.e,z.s))>0;
}
inline bool hpi(int k){
cnt=0;
for(int i=1;i<=m;++i)
if(l[i].n<=k){
if(!cnt||l[i].an!=a[cnt].an) ++cnt;
a[cnt]=l[i];
}
h=1;t=0;
for(int i=1;i<=cnt;++i){
while(h<t&&chk(q[t],q[t-1],a[i])) --t;
while(h<t&&chk(q[h],q[h+1],a[i])) ++h;
q[++t]=a[i];
}
while(h<t&&chk(q[t],q[t-1],q[h])) --t;
while(h<t&&chk(q[h],q[h+1],q[t])) ++h;
return t-h+1>=3;
}
/*a^2x+ay-b=0,ask y*/
inline ld f(ld a,ld b,ld x){
return b/a-a*x;
}
inline void Aireen(){
n=read();ld x,y,z;
l[++m].s=(point){-INF,-INF};l[m].e=(point){INF,-INF};
l[m].an=atan2(l[m].e.y-l[m].s.y,l[m].e.x-l[m].s.x);
l[++m].s=(point){INF,-INF};l[m].e=(point){INF,INF};
l[m].an=atan2(l[m].e.y-l[m].s.y,l[m].e.x-l[m].s.x);
l[++m].s=(point){INF,INF};l[m].e=(point){-INF,INF};
l[m].an=atan2(l[m].e.y-l[m].s.y,l[m].e.x-l[m].s.x);
l[++m].s=(point){-INF,INF};l[m].e=(point){-INF,-INF};
l[m].an=atan2(l[m].e.y-l[m].s.y,l[m].e.x-l[m].s.x);
for(int i=1;i<=n;++i){
x=rd();y=rd();z=rd();
l[++m].s.x=-1.0;l[m].s.y=f(x,y,l[m].s.x);
l[m].e.x=1.0;l[m].e.y=f(x,y,l[m].e.x);
l[m].n=i;l[m].an=atan2(l[m].e.y-l[m].s.y,l[m].e.x-l[m].s.x);
l[++m].s.x=1.0;l[m].s.y=f(x,z,l[m].s.x);
l[m].e.x=-1.0;l[m].e.y=f(x,z,l[m].e.x);
l[m].n=i;l[m].an=atan2(l[m].e.y-l[m].s.y,l[m].e.x-l[m].s.x);
}
sort(l+1,l+1+m,cmp);
lef=0;rig=n;
while(lef<rig){
mid=lef+rig+1>>1;
if(hpi(mid)) lef=mid;
else rig=mid-1;
}
printf("%d\n",lef);
}
int main(){
freopen("archery.in","r",stdin);
freopen("archery.out","w",stdout);
Aireen();
fclose(stdin);
fclose(stdout);
return 0;
}