《计算方法 》 - 第2章 插值法 - 解题套路

一、4种插值方法及其误差估计

（Ⅱ）例题（参考《数值分析 第五版》\(P_{48}\ T_1\)）

2、拉格朗日插值法

（Ⅱ）例题

例题2（参考《数值分析 第五版》\(P_{48} T_4\)）\(\Longrightarrow\) 拉格朗日插值的精度

总结：此题可以得出结论——；

例题3（参考《数值分析 第五版》\(P_{48} T_5\)）\(\Longrightarrow\) 拉格朗日插值中的误差分析

总结：把握线性插值的误差估计，\(\omega_{n+1}(x)\)在中点出去的最大值。顺便掌握\(n\)阶拉格朗日插值的误差。

例题4（参考《数值分析 第五版》\(P_{48} T_6\)）\(\Longrightarrow\) 拉格朗日插值中的误差分析

总结：看似有步长，为分段插值，其实本质上就是分析拉格朗日插值法的误差，熟练掌握拉格朗日插值法的误差估计：\(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)}\times\omega_{n+1}(x)\)，通过代入给出的\(f(x)\)的表达式来判断\(f^{(n+1)}(\xi)\)的最大值，并结合\(\omega_{n+1}(x)\)的最大值（此处一般都是整一个步长\(h=\underset{k}{max}\ h_k\)，然后将\(x_i\)和\(x\)替换掉，构造成一个\(t\)的函数），从而确定出\(n\)阶拉格朗日插值多项式的误差限。

3、牛顿插值

第二种：差分形式的牛顿插值（牛顿前插公式）

总结：当插值函数是一个复杂函数（这里的复杂指的是原函数的导数不容易得出）时，如：\(f(x)=\sqrt{\frac{\cos x+2\sin x}{2\cos x-\sin x}}\)，想求\(n+1\)阶导数几乎是不存在的（除非你是徐半仙或者聂星人或者许外挂），这是我们就只能通过构造均差表来解算其误差限；当插值函数是一个简单函数时，如\(f(x)=\cos x\)，这时求\(n+1\)阶导数赶赶单单没有\(len\)何挑战，所以就可以构造差分表来解算误差限。

一般地，题目中应该会给我们\(n+2\)个点来研究\(n\)次的牛顿插值。但是如果题目中的原函数是复杂函数，并且只给了\(n+1\)个点，这个时候我们不用慌，还有\(PlanB\)——题目肯定是要我们求\(f(m)\)的近似值，其中\(m\in(x_0，x_n)\)，这个时候就相当于给了我们第\(n+2\)个点：\(m\)，我们就能够通过\(f(m)\)的值（代入表达式中获得的近似值）来求得\(f[x, x_0, x_1, ..., x_n]\)。

（Ⅱ）例题

例题2（参考《数值分析 第五版》\(P_{34} 例题5\)）\(\Longrightarrow\) 差分形式的牛顿插值及其误差估计

总结：

4、埃尔米特插值

我愿称之为“暴力硬核待定系数法”（真的很暴力，一般也就3点3次埃尔米特插值用）

其误差估计当然就可以用牛顿插值的误差估计了，不过值得注意的是我们用的牛顿前插公式，而且将步长与\((t-i+1)\)进行了合并，重新得到了\((x-x_i)\)：

\[R_n(x)=\frac{1}{(n+1)!}\cdot f^{(n+1)}(\xi)\times\prod_{i=0}^k(x-x_i)^{j_i}\]

其中\(j_i\)表示第\(x_i\)这个点出现的次数，比如如果不是重节点那么该值就为1。

（2）套路3（两点三次埃尔米特插值）：有两个节点，在这两个节点上，原函数函数值与插值函数函数值相等（\(f(x_i)=P(x_i)\)），并且对应的导数值也相等（\(f^{(1)}(x_i)=P^{(1)}(x_i)\)）。直接给出公式：

\[\begin{aligned}H_3(x)=&(1+2\cdot\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k})(\frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}})^2\cdot y(x_k)+(1+2\cdot\frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}})(\frac{x-x_{k}}{x_{k+1}-x_k})^2\cdot y(x_{k+1})\\\\&+({x-x_k})(\frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}})^2\cdot y^{'}(x_k)+({x-x_{k+1}})(\frac{x-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}})^2\cdot y^{'}(x_{k+1})\end{aligned}\]

其误差估计为：

\[R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-x_k)^2(x-x_{k+1})^2\qquad\xi\in(x_k，x_{k+1})\]

（Ⅲ）例题

“暴力硬核待定系数法”

没啥好名儿了，就暂定为“牛顿待定系数法”吧

总结：像套路2（普通埃尔米特插值函数）一共有三种解法

例题2（参考《数值分析 第五版》\(P_{49} T_{14}\)）\(\Longrightarrow\) 套路3（两点三次埃尔米特插值）

总结：像这种题一般都是无脑题，只要翻翻书就知道答案了（但是知道和算对永远是两码事）；

例题3（参考《数值分析 第五版》\(P_{49} T_{16}\)）\(\Longrightarrow\) 套路3（两点三次埃尔米特插值）— 埃尔米特与牛顿

总结：，可以运用改正的思想，并且巧妙的结合套路2中的\(PlanC\)，把握机会。

例题3（参考《数值分析 第五版》\(P_{49} T_{15}\)）\(\Longrightarrow\) 套路3（两点三次埃尔米特插值）— 误差分析

5、分段低次插值

例题2（参考《数值分析 第五版》\(P_{49} T_{19}\)）两点三次埃尔米特插值

二、均差与差分

●**均差性质（2）：**第\(k\)阶均差可以用如下两个\(k-1\)阶均差表示（均差表的基础）

●均差性质（3）：\(n\)阶均差与导数的关系（分析误差限和牛顿插值函数的精度）

通常在做题的过程中，性质（1）和性质（3）用得多一些。

（Ⅱ）差分、导数和均差的三角恋

（2）差分与导数的关系：

（3）\(n\)阶均差与导数的关系：

（Ⅲ）例题

例题2（参考《数值分析 第五版》\(P_{49} T_{12}\)）均差与导数的关系\(\Longrightarrow\)牛顿插值函数的精度