Description
Morenan被困在了一个迷宫里。迷宫可以视为N个点M条边的有向图，其中Morenan处于起点S，迷宫的终点设为T。可惜的是，Morenan非常的脑小，他只会从一个点出发随机沿着一条从该点出发的有向边，到达另一个点。这样，Morenan走的步数可能很长，也可能是无限，更可能到不了终点。若到不了终点，则步数视为无穷大。但你必须想方设法求出Morenan所走步数的期望值。
Input
第1行4个整数，N,M,S,T
第[2, M+1]行每行两个整数o1, o2，表示有一条从o1到o2的边。
Output
一个浮点数，保留小数点3位，为步数的期望值。若期望值为无穷大，则输出"INF"。
【样例输入1】
6 6 1 6
1 2
1 3
2 4
3 5
4 6
5 6
【样例输出1】
3.000
【样例输入2】
9 12 1 9
1 2
2 3
3 1
3 4
3 7
4 5
5 6
6 4
6 7
7 8
8 9
9 7
【样例输出2】
9.500
【样例输入3】
2 0 1 2
【样例输出3】
INF
【数据范围】
测试点 | N | M | Hint |
[1, 6] | <=10 | <=100 | |
[7, 12] | <=200 | <=10000 | |
[13, 20] | <=10000 | <=1000000 | 保证强连通分量的大小不超过100 |
另外，均匀分布着40%的数据，图中没有环，也没有自环
【思路】
节点u的期望为E(u)=ΣE(v)/deg(u)+1，移项变成deg(u)*E(u)-ΣE(v)=deg(u)，而且题目中说到每一个scc中的点数不超过100。我们就可以先划一下scc，将多个节点方程联立，在每个scc中用高斯消元求每个结点的E，O(n^2)。然后再缩点后的图上dfs统计一下就可以啦。
需要注意应该把t的所有出边切掉，因为我们规定E(t)=0。还有就是如果一个scc中有连往scc外的边，我们把常数项加个E
因为我们切了几条边，所以判断得改一下，不能直接判断sccno[S]是否直接到达sccno[T]，可以两个点都dfs一遍，如果有sccno[S]不可以到达但sccno[T]可以到达的则为INF，此时出现有一个scc不能到达sccno[T]的情况，于是可以在这个scc中转来转去，即inf。
【代码】
#include<stack>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
using namespace std; const int N = 1e4+; vector<int> g[][N];
int n,m,S,T,vis[N],deg[N];
double ans[N],mat[][]; int pre[N],sccno[N],id[N],lowlink[N],dfsc,scccnt;
stack<int> st; vector<int> scc[N]; void tarjan(int flag,int u) {
pre[u]=lowlink[u]=++dfsc;
st.push(u); deg[u]=(int)g[flag][u].size();
for(int i=;i<deg[u];i++) {
int v=g[flag][u][i];
if(!pre[v]) {
tarjan(flag,v);
lowlink[u]=min(lowlink[u],lowlink[v]);
}
else if(!sccno[v])
lowlink[u]=min(lowlink[u],pre[v]);
}
if(pre[u]==lowlink[u]) {
++scccnt;
for(;;) {
int x=st.top(); st.pop();
sccno[x]=scccnt;
scc[scccnt].push_back(x);
id[x]=(int)scc[scccnt].size()-;
if(x==u) break;
}
}
} void gause(int x) {
int n=(int)scc[x].size(),i,j,k,r;
for(i=;i<n;i++) {
int u=scc[x][i];
for(j=;j<n;j++) mat[i][j]=;
mat[i][n]=deg[u];
for(j=;j<g[][u].size();j++) {
int v=g[][u][j];
if(sccno[v]==x) {
mat[i][id[v]]--;
} else {
mat[i][n]+=ans[v];
}
}
mat[i][i]+=deg[u];
}
for(i=;i<n;i++) {
r=i;
for(j=i+;j<n;j++)
if(fabs(mat[j][i])>fabs(mat[r][i])) r=j;
if(r!=i) for(j=;j<=n;j++) swap(mat[i][j],mat[r][j]);
for(k=i+;k<n;k++) {
double f=mat[k][i]/mat[i][i];
for(j=i;j<=n;j++) mat[k][j]-=f*mat[i][j];
}
}
for(i=n-;i>=;i--) {
for(j=i+;j<n;j++)
mat[i][n]-=mat[j][n]*mat[i][j];
mat[i][n]/=mat[i][i];
}
for(i=;i<n;i++)
ans[scc[x][i]]=mat[i][n];
} void solve(int u) {
if(u==sccno[T]) {
ans[T]=; return ;
}
for(int i=;i<g[][u].size();i++) {
int v=g[][u][i];
if(!vis[v]) solve(v);
}
vis[u]=;
gause(u);
} int mark[][N];
void dfs(int flag,int u) {
mark[flag][u]=;
for(int i=;i<g[flag][u].size();i++) {
int v=g[flag][u][i];
if(!mark[flag][v]) dfs(flag,v);
}
}
int main() {
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
S--,T--;
int u,v;
for(int i=;i<m;i++) {
scanf("%d%d",&u,&v);
u-- , v--;
if(u==T) continue;
g[][u].push_back(v);
}
for(int i=;i<n;i++)
if(!pre[i]) tarjan(,i);
for(int i=;i<n;i++) {
for(int j=;j<g[][i].size();j++) {
int v=g[][i][j];
if(sccno[i]!=sccno[v]) {
g[][sccno[i]].push_back(sccno[v]);
g[][sccno[v]].push_back(sccno[i]);
}
}
}
dfs(,sccno[S]); dfs(,sccno[T]);
for(int i=;i<=scccnt;i++)
if(mark[][i]&&!mark[][i]) {
puts("INF"); return ;
}
solve(sccno[S]);
printf("%.3f",ans[S]);
return ;
}
PS：
这个题=-= 好神啊0_0
其实第一眼蒟蒻是想dfs来着，但是有圈啊……有圈啊……有圈啊……