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CCF CSP 201312-4 有趣的数

问题描述

　　我们把一个数称为有趣的，当且仅当：
　　1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
　　2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
　　3. 最高位数字不为0。
　　因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
　　请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。

输入格式

　　输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。

输出格式

　　输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。

样例输入

4

样例输出

3

解析

问题可以通过动态规划求解，把N位数的问题化解成为N-1位数的问题。

题目的核心是如何表示约束条件。如果N-1位数只包含0或者2，增加一位可以是0123；如果N-1位数只包含2或者3，增加一位只可能是0或者3。

根据上面的特征，动态规划的状态可以是前N-1位数只包含2、23、02、023、012、0123的个数。

题目所需求解的是包含0123数的个数。

根据题意可以推出第一个数必须为2，首先不可能是1或3，因为0需在1之前、2需在3之前，然后第一位数不能为0。

下图展示了状态的转移关系。

用矩阵可以表示为

 

代码

C++

#include <iostream>

#define MAXN 1000000007

using namespace std;

int main() {

    long long s2=, s23=, s02=, s023=, s012=, s0123=;

    int N;

    cin >> N;

    for(int n=; n<N; n++) {

        s0123 = s023 + s012 + *s0123;

        s0123 %= MAXN;

        s012 = s02 + *s012;

        s012 %= MAXN;

        s023 = s23 + s02 + *s023;

        s023 %= MAXN;

        s02 = s2 + *s02;

        s02 %= MAXN;

        s23 = s2 + s23;

        s23 %= MAXN;

    }

    cout << s0123;

}