codeforces 622F. The Sum of the k-th Powers 拉格朗日插值法

题目链接

求sigma(i : 1 to n)i^k。

为了做这个题这两天真是补了不少数论， 之前连乘法逆元都不知道...

关于拉格朗日插值法， 我是看的这里http://www.guokr.com/post/456777/， 还挺有趣...

根据题目给出的例子我们可以发现， k次方的通项公式的最高次是k+1次， 根据拉格朗日插值法， 构建一个k+1次的方程需要k+2项。

然后公式是  ， 对于这个题， p[i]就是i^k+（i-1)^k+(i-2)^k+.....+1^k, 这部分可以预处理出来。 自己不会搞公式 ， 从http://www.cnblogs.com/qscqesze/p/5207132.html这里盗的（雾

我们发现上面就是(n-1)*(n-2)......*(n-k-2)/(n-i), 上面的那部分预处理出来， 除(n-i)相当于乘(n-i)的乘法逆元。

下面那部分就是(i-1)*(i-2)*...(i-i+1)     *   (i-i-1)*(i-i-2)*......(i-k-2), 相当于两个阶乘相乘， 阶乘预处理出来， 然后注意一下后面的正负号就可以了。

#include <iostream>

#include <vector>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#include <cmath>

#include <map>

#include <set>

#include <string>

#include <queue>

#include <stack>

#include <bitset>

using namespace std;

#define pb(x) push_back(x)

#define ll long long

#define mk(x, y) make_pair(x, y)

#define lson l, m, rt<<1

#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))

#define rson m+1, r, rt<<1|1

#define mem1(a) memset(a, -1, sizeof(a))

#define mem2(a) memset(a, 0x3f, sizeof(a))

#define rep(i, n, a) for(int i = a; i<n; i++)

#define fi first

#define se second

typedef pair<int, int> pll;

const double PI = acos(-1.0);

const double eps = 1e-;

const ll mod = 1e9+;

const int inf = ;

const int dir[][] = { {-, }, {, }, {, -}, {, } };

const int maxn = 1e6+;

ll f[maxn], fac[maxn];

ll pow(ll a, ll b) {

    ll ret = ;

    while(b) {

        if(b&)

            ret = (ret*a)%mod;

        a = (a*a)%mod;

        b>>=;

    }

    return ret;

}

int main()

{

    ll n, k;

    cin>>n>>k;

    for(int i = ; i<=k+; i++) {

        f[i] = (f[i-]+pow(i*1LL, k))%mod;

    }

    fac[] = ;

    for(int i = ; i<maxn; i++) {

        fac[i] = (fac[i-]*i)%mod;

    }

    if(n<=k+) {

        cout<<f[n]<<endl;

        return ;

    }

    ll cur = , ans = ;

    for(int i = ; i<=k+; i++) {

        cur = (cur*(n-i))%mod;

    }

    for(int i = ; i<=k+; i++) {

        ll tmp = pow(n-i, mod-)%mod;

        ll tmp1 = pow(fac[i-]%mod*fac[k+-i]%mod, mod-)%mod;

        int sign = (k+-i)%?-:;

        ans = (ans + sign*tmp*tmp1%mod*f[i]%mod*cur%mod)%mod;

    }

    ans = (ans+mod)%mod;

    cout<<ans<<endl;

    return ;

}