数据结构与算法：图形结构

图

图形结构是一种比树形结构更复杂的非线性结构。在树形结构中，结点间具有分支层次关系，每一层上的结点只能和上一层中的至多一个结点相关，但可能和下一层的多个结点相关。而在图形结构中，任意两个结点之间都可能相关，即结点之间的邻接关系可以是任意的。

因此，图形结构被用于描述各种复杂的数据对象，在自然科学、社会科学和人文科学等许多领域有着非常广泛的应用 。图形结构在计算机科学、人工智能、电子线路分析、最短路径寻找、工程计划、化学化合物分析统计力学、遗传学、控制论语言学和社会科学等方面均有不同程度的应用可以这样说，图形结构在所有数据结构中应用最为广泛。如在地铁站中的线路图：

图的定义

图是一种数据结构，其中节点可以具有零个或多个相邻元素，两个节点的连接称之为边，节点在图形结构中也被称为顶点，一个顶点到另一个顶点的经过的的线路称为路径。

图形结构有3种类型：无向图、有向图、带权图

无向图：顶点A与顶点B之间的边是无方向的，可以从A到B，也可以从B到A

有向图：顶点A与顶点B之间的边是有方向的，可以从A到B，但不可以从B到A

带权图：顶点A与顶点B之间的边是带有属性的，如A到B的 距离。

图的表达方式

图的表达方式有两种：邻接矩阵(使用二维数组)和邻接表(使用数组+链表)

邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中各顶点之间的关系，矩阵的行和列对应各顶点，坐标位置上的值对于它们之间的关系，1为连接, 0为没有连接。在程序中用二维数组来实现。

邻接表

邻接表只关系存在的边，不需要去为不存在的边分配空间，因此比邻接矩阵来说，避免了不必要的空间浪费。在程序中用数组+链表的形式实现，数组存储对应的顶点，链表存储该顶点连接的所有顶点。

 

图的搜索算法

图形结构基础属性和方法

以下的代码演示都是以邻接矩阵表达方式来实现的

//图形结构(邻接矩阵)
class Graph {
     //存储图中所有顶点
    private List<String> vertexes;
    //图形结构的邻接矩阵
    private int[][] matrix;
    //各顶点访问情况，true为已访问，false为未访问
    private boolean[] visited;

    /**
     * 根据传入的顶点信息生成矩阵
     * @param s
     */
    public Graph(String s[]) {
        vertexes = new ArrayList<>();
        for (String vertex : s){
            vertexes.add(vertex);
        }
        matrix = new int[s.length][s.length];
    }

    /**
     * 将俩个顶点连接，即生成边
     * @param index1 顶点在集合中的索引
     * @param index2
     */
    public void connect(int index1, int index2){
        if (index1 < 0 || index1 > matrix.length || index2 < 0 || index2 > matrix.length){
            throw new RuntimeException("该顶点未存在");
        }
        //将新的邻接添加的邻接矩阵中
        matrix[index1][index2] = 1;
        matrix[index2][index1] = 1;
    }

    /**
     * 展示邻接矩阵
     */
    public void showGraphMatrix(){
        for (int arr[] : matrix){
            System.out.println(Arrays.toString(arr));
        }
    }

    /**
     * 获取顶点在邻接矩阵对应行row中的第一个邻接顶点下标
     * @param row
     * @return 当有邻接顶点时返回邻接顶点下标，没有则返回-1
     */
    public int getFirstNeighbor(int row){
        for(int i =0; i<matrix.length; i++){
            if (matrix[row][i] != 0){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 获取顶点在邻接矩阵对于行row中col列的下一个邻接顶点
     * @param row
     * @param col
     * @return 当有邻接顶点时返回邻接顶点下标，没有则返回-1
     */
    public int getNeighbor(int row, int col){
        for (int i=col+1; i<matrix.length; i++){
            if (matrix[row][i] != 0){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }
}

 

深度优先搜索

深度优先搜索属于图算法的一种，英文缩写为DFS即Depth First Search.其过程简要来说是对每一个可能的分支路径深入到不能再深入为止，而且每个节点只能访问一次。这样的访问策略是优先往纵向进行深入挖掘，而不是对一个顶点的所有邻接顶点进行横线访问。简单来说就是一条路走到死，不行再掉头。

思路：从当前顶点选一个与之连接而未访问过的顶点，将当前节点往该邻接顶点移动，如果邻接顶点没有未访问的，则回溯到上一个顶点位置，继续该步骤。直到所有顶点都访问过。

往邻接但未访问过的顶点移动

邻接顶点没有未访问的，进行回溯，直到遇到未访问的邻接顶点

当所有顶点都被访问过时，退出算法

下面是深度优先搜索的过程动画

代码演示

public void dsf(){
    visited = new boolean[vertexes.size()];
    //以在集合中下标为0的顶点，进行深度搜索
    dsf(visited, 0);
}

/**
 * 深度优先搜索
 * @param visited
 * @param row
 */
public void dsf(boolean[] visited, int row){
    //输出当前顶点
    System.out.print(vertexes.get(row) + " -> ");
    //将当前顶点设为已访问
    visited[row] = true;
    //获取当前顶点的邻接顶点下标
    int index = getFirstNeighbor(row);
    //如果当前顶点有邻接顶点则进行深度搜索
    while (index != -1){
        //当邻接顶点未访问时，则递归遍历
        if (visited[index] != true){
            dsf(visited, index);
        }
        //当邻接顶点已访问时，则寻找另一个邻接顶点
        index = getNeighbor(row, index);
    }
}

 

宽度优先搜索

宽度优先搜索算法（又称广度优先搜索）是最简便的图的搜索算法之一，这一算法也是很多重要的图的算法的原型。Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法都采用了和宽度优先搜索类似的思想。其别名又叫BFS，属于一种盲目搜寻法，目的是系统地展开并检查图中的所有节点，以找寻结果。换句话说，它并不考虑结果的可能位置，彻底地搜索整张图，直到找到结果为止。

宽度优先搜索算法类似于一个分层搜索的过程，宽度优先搜索算法需要一个队列以保持访问过顶点的顺序，以便按这个顺序来访问这些顶点的邻接顶点。

思路：依次访问当前顶点的邻接顶点，并按访问顺序将这些邻接顶点存储在队列中，当当前顶点的所有邻接顶点都被访问后，从队列中弹出一个顶点，以该顶点为当前顶点继续该步骤，直到所有顶点都被访问过。

依次访问当前顶点的所有邻接顶点，并把这些邻接顶点按访问顺序存储在队列中

当前顶点没有未访问的邻接顶点，从队列中弹出一个顶点，以该弹出顶点继续访问未访问的邻接顶点

注意，虽然图中的顶点都已经访问过了，但还是要等队列中的所有顶点弹出访问后，算法才结束

下面时宽度优先搜索的过程动画

代码演示

public void bfs(){
    visited = new boolean[vertexes.size()];
    ////以在集合中下标为0的顶点，进行广度优先搜索
    bfs(visited, 0);
}

/**
 * 广度优先搜索
 * @param visited
 * @param row
 */
public void bfs(boolean[] visited, int row){
    //创建队列，存储遍历邻接顶点的顺序
    LinkedList queue = new LinkedList();
    //输出当前顶点
    System.out.print(vertexes.get(row) + " -> ");
    //将当前顶点设为已访问
    visited[row] = true;
    //将当前顶点加入队列中
    queue.add(row);
    //当队列不为空时，即有未搜索的邻接顶点，进行搜索
    while (!queue.isEmpty()){
        //按顺序从队列中弹出邻接顶点下标
        int last = (Integer)queue.removeFirst();
        //获取该弹出顶点的邻接顶点下标
        int index = getFirstNeighbor(last);
        //当弹出顶点有邻接顶点时，进行广度搜索
        while(index != -1){
            //当邻接顶点未访问时
            if(visited[index] != true){
                //输出该邻接顶点
                System.out.print(vertexes.get(index) + " -> ");
                //把该邻接顶点设为已访问
                visited[index] = true;
                //将该邻接顶点加入队列
                queue.addLast(index);
            }
            //继续寻找弹出顶点的另一个邻接顶点
            index = getNeighbor(last, index);
        }
    }
}

完整演示代码

public class GraphDemo {
    public static void main(String[] args) {
        String[] s = {"A","B","C","D","E","F","G"};
        Graph graph = new Graph(s);
        //A-B A-C A-G A-F F-D F-E D-E E-G
        graph.connect(0, 1);
        graph.connect(0, 2);
        graph.connect(0, 6);
        graph.connect(0, 5);
        graph.connect(5, 3);
        graph.connect(5, 4);
        graph.connect(3, 4);
        graph.connect(4, 6);
        graph.showGraphMatrix();

        graph.dsf();//A -> B -> C -> F -> D -> E -> G -> 
        System.out.println();
        graph.bfs();//A -> B -> C -> F -> G -> D -> E -> 
    }
}

//图形结构
class Graph {
    //存储图中所有顶点
    private List<String> vertexes;
    //图形结构的邻接矩阵
    private int[][] matrix;
    //各顶点访问情况，true为已访问，false为未访问
    private boolean[] visited;

    /**
     * 根据传入的顶点信息生成矩阵
     * @param s
     */
    public Graph(String s[]) {
        vertexes = new ArrayList<>();
        for (String vertex : s){
            vertexes.add(vertex);
        }
        matrix = new int[s.length][s.length];
    }

    /**
     * 将俩个顶点连接，即生成边
     * @param index1 顶点在集合中的索引
     * @param index2
     */
    public void connect(int index1, int index2){
        if (index1 < 0 || index1 > matrix.length || index2 < 0 || index2 > matrix.length){
            throw new RuntimeException("该顶点未存在");
        }
        //将新的邻接添加的邻接矩阵中
        matrix[index1][index2] = 1;
        matrix[index2][index1] = 1;
    }

    /**
     * 展示邻接矩阵
     */
    public void showGraphMatrix(){
        for (int arr[] : matrix){
            System.out.println(Arrays.toString(arr));
        }
    }

    public void dsf(){
        visited = new boolean[vertexes.size()];
        //以在集合中下标为0的顶点，进行深度优先搜索
        dsf(visited, 0);
    }

    /**
     * 深度优先搜索
     * @param visited
     * @param row
     */
    public void dsf(boolean[] visited, int row){
        //输出当前顶点
        System.out.print(vertexes.get(row) + " -> ");
        //将当前顶点设为已访问
        visited[row] = true;
        //获取当前顶点的邻接顶点下标
        int index = getFirstNeighbor(row);
        //如果当前顶点有邻接顶点则进行深度搜索
        while (index != -1){
            //当邻接顶点未访问时，则递归遍历
            if (visited[index] != true){
                dsf(visited, index);
            }
            //当邻接顶点已访问时，则寻找另一个邻接顶点
            index = getNeighbor(row, index);
        }
    }

    public void bfs(){
        visited = new boolean[vertexes.size()];
        ////以在集合中下标为0的顶点，进行广度优先搜索
        bfs(visited, 0);
    }

    /**
     * 广度优先搜索
     * @param visited
     * @param row
     */
    public void bfs(boolean[] visited, int row){
        //创建队列，存储遍历邻接顶点的顺序
        Queue queue = new ArrayDeque();
        //输出当前顶点
        System.out.print(vertexes.get(row) + " -> ");
        //将当前顶点设为已访问
        visited[row] = true;
        //将当前顶点加入队列中
        queue.add(row);
        //当队列不为空时，即有未搜索的邻接顶点，进行搜索
        while (!queue.isEmpty()){
            //按顺序从队列中弹出邻接顶点下标
            int last = (Integer)queue.poll();
            //获取该弹出顶点的邻接顶点下标
            int index = getFirstNeighbor(last);
            //当弹出顶点有邻接顶点时，进行广度搜索
            while(index != -1){
                //当邻接顶点未访问时
                if(visited[index] != true){
                    //输出该邻接顶点
                    System.out.print(vertexes.get(index) + " -> ");
                    //把该邻接顶点设为已访问
                    visited[index] = true;
                    //将该邻接顶点加入队列
                    queue.add(index);
                }
                //继续寻找弹出顶点的另一个邻接顶点
                index = getNeighbor(last, index);
            }
        }
    }

    /**
     * 获取顶点在邻接矩阵对应行row中的第一个邻接顶点下标
     * @param row
     * @return 当有邻接顶点时返回邻接顶点下标，没有则返回-1
     */
    public int getFirstNeighbor(int row){
        for(int i =0; i<matrix.length; i++){
            if (matrix[row][i] != 0){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 获取顶点在邻接矩阵对于行row中col列的下一个邻接顶点
     * @param row
     * @param col
     * @return 当有邻接顶点时返回邻接顶点下标，没有则返回-1
     */
    public int getNeighbor(int row, int col){
        for (int i=col+1; i<matrix.length; i++){
            if (matrix[row][i] != 0){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }
}