数据结构与算法：算法的时间复杂度

时间频度

一个算法花费的时间与算法中语句执行次数成正比，哪个算法中语句执行次数多，它花费的时间就多。一个算法中语句的执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n).

//比如计算1到100所有数字之和，我们设计俩种算法：
int count = 0;
int end = 100;
​
//该算法中使用了for循环，循环了100+1(最后一次判断), 时间频度为T(100)=100+1, 即T(n)=n+1
for(int i=1; i<=end; i++){
    count+=i;
}
​
//而如果我们使用公式来计算，只需执行一次即可得到结果，时间频度为T(100)=1, 即T(n)=1
count = (1+end)*end/2

 

时间复杂度

在计算机科学中，时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。

大O符号

大O符号（Big O notation）是用于描述函数渐进行为的数学符号。更确切地说，它是用另一个（通常更简单的）函数来描述一个函数数量级的渐近上界。在数学中，它一般用来刻画被截断的无穷级数尤其是渐近级数的剩余项；在计算机科学中，它在分析算法复杂性的方面非常有用。

常数项可忽略

如下图, 2n+20和2n 、 3n+10和3n ，随着n值的增大，执行曲线无限接近，这时我们基本可忽略掉常数项：20、10

低次项可忽略

如下图，2n^2+3n+10和2n^2、n^2+5n+20和n^2，随着n值的增大，执行曲线无限接近，这时我们基本可以忽略掉低次项和常数项：3n+10、5n+20

系数可忽略

如下图, 3n^2+2n和5n^2+7n 随着n值的增大，执行曲线无限接近，这时我们基本可以忽略掉低次项：2n、5n，和系数：3、5

但是要注意的是，如果n的指数大于2时，它们的系数会对结果影响较大，如下图的 n^3+5n和6^3+4n，这种情况则不可以忽略系数

所以我们可以把时间频度T(n)=2n^2+3n+10忽略掉常数、低次项和系数，记成时间复杂度O(n^2)

常见的时间复杂度

• 常数阶O(1)

//无论代码执行了多少行，参数有多大，只要执行次数没有随着输入参数的变化而变化，那它的时间复杂度就是 O(1)
int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i+j;

• 对数阶O(log2n)

//在while循环中，每循环一次i都会乘于2，当乘到x次时，i>n则退出循环，,所以while内的代码会执行x次，即i^x>n，又因为i每次的乘数是2即底数为2，所以它的时间复杂度是 (log2n), 如果乘数是3则是O(log3n)
int i = 1;
while(i<n){
    i = i * 2;
}

• 线性阶O(n)

//在for循环中，j=i会被执行n次，所以它的时间复杂度为O(n)
int j = 0;
for(int i=1; i<=n; i++){
    j = i;
}

• 线性对数阶O(nlog2n)

//线性对数对数阶则是将对数阶的代码再循环执行n遍，如果i的乘数为2,则时间复杂度为O(nlog2n)
for(int m=1; m<=n; m++){
    int i = 1;
    while(i<n){
        i = i * 2;
    }
}

• 平方阶O(n^2)

//平方阶则是将线性阶再循环执行n遍，记总共执行了n*n=n^2，所以它的时间复杂度为O(n^2)
int num = 0;
for(int i=1; i<=n; i++){
    for(int j=1; j<=n; j++){
        num = i+j;
    }
}

• 立方阶O(n^3)

• k次方阶O(n^k)

//立方阶和k次方阶参考平方阶，原理是一样的

• 指数阶O(2^n)

//因为时间复杂度为0(2^n)的算法开销过大，不推荐使用时间复杂度为0(2^n)的算法

平均时间复杂度和最坏时间复杂度

1. 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。

2. 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

3. 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算 法有关(如图，以排序算法为例)。

 

空间复杂度

1. 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。

2. 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况

3. 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.

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