CPP，MATLAB实现牛顿插值

　　　　牛顿插值法的原理，在维基百科上不太全面，具体可以参考这篇文章。同样贴出，楼主作为初学者认为好理解的代码。

function p=Newton1(x1,y,x2)

%p为多项式估计出的插值

syms x

n = length(x1);

%差商的求法

for i=2:n

   f1(i,1)=(y(i)-y(i-1))/(x1(i)-x1(i-1));

end

for i=2:n

    for j=i+1:n

       f1(j,i)=(f1(j,i-1)-f1(j-1,i-1))/(x1(j)-x1(j-i));

   end

end

f1=[y',f1]%  输出带0阶差商的差商表格

%Newton插值函数

Newton=f1(1,1);

for i=2:n

    tt=1;

    for j=1:i-1

        tt=tt*(x-x1(j));

    end

    Newton=Newton+f1(i,i)*tt;

end

fprintf('Newton插值函数为\n')

expand(Newton)     % 将连乘多项式合并展开

x = x2;

p = eval(Newton);   % 代入值计算

fprintf('Newton插值函数在所求点x2的函数值为\n')

p

　　运行：

　　输出：

　　CPP实现代码如下：

　　注意此处求差商运用的是另外一种方法

#include<iostream>

#include<string>

#include<vector>

using namespace std;

// 函数声明，使得其在被完整定义之前可以被引用

double ChaShang(int n, vector<double>&X, vector<double>&Y);

double Newton(double x, vector<double>&X, vector<double>&Y);

int main(){

	int n;

	cout<<"输入插值点的个数："<<endl;

	cin>>n;

	// 先将X,Y填充为n个0

	vector<double>X(n,0);

	vector<double>Y(n,0);

	cout<<"请输入X[i],Y[i]:"<<endl;

	for(int i=0;i<n;i++){

		cin>>X[i]>>Y[i];

	}

	double x;

	cout<<"请输入要进行插值的点的x值："<<endl;

	cin>>x;

	cout<<Newton(x,X,Y)<<endl;

	return 0;

}

// 此处为差商的另一种求法，可有差商定义根据数学归纳法求出

double ChaShang(int n,vector<double>&X,vector<double>&Y){

	double f=0;

	double temp=0;

	for(int i=0;i<n+1;i++){

		temp=Y[i];

		for(int j=0;j<n+1;j++){

			if(i!=j){temp /= (X[i]-X[j]);}

		}

		f += temp;

	}return f;

}

double Newton(double x,vector<double>&X,vector<double>&Y){

	double result=0;

	for(int i=0;i<X.size();i++){

		//此处的temp用于生成牛顿插值多项式里面的多项式乘积因子,(x-1)(x+3)这些

		double temp=1;

		double f=ChaShang(i,X,Y);

		for(int j=0;j<i;j++){

			temp=temp*(x-X[j]);

		}

		// 差商乘以因子得到最终的牛顿插值多项式

		result += f*temp;

	}return result;

}

　　运行结果：