最小费用最大流——ZKW

对于最小费用最大流，我们的通常做法是EK+SPFA。

然而，卡常界大佬ZKW发明了一个求解最小费用最大流的方法，很强啊。

在学ZKW费用流前，先说说KM算法。

KM算法

为啥要先提这个呢？因为ZKW费用流用了一个和它非常类似的做法。

KM算法求的是二分图最大权完美匹配。

在此，我来口胡一下（这个算法其实我并未打过，只懂思想）。

和匈牙利算法差不多，区别在于标号。

对于左右两边的点各自有个标号D" role="presentation">DD，一开始，左边的标号设为最大的连出去的边的权值，右边的设为0。

每次只走，满足Di+Dj=v" role="presentation">Di+Dj=vDi+Dj=v的边。

当发生冲突时，就将右边的点的标号全部加一，左边的点的标号全部减一，然后继续搞。

这就是KM算法的大概思路。

ZKW费用流

到正题了。

类似于KM算法，ZKW算法也有个标号。

当Dx=Dy+w" role="presentation">Dx=Dy+wDx=Dy+w时，才会走这条边。

ZKW算法中，是类似于Dinic的多路增广，在每次增广后，就修改距离标号。

求出距离标号的最小增加值，然后修改距离标号。

当找不出增广路时，算法结束。

代码

using namespace std;

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#include <climits>

int n,m,S,T;

struct EDGE

{

    int to,c,w;

    EDGE *las;

} e[100001];

int ne;

EDGE *last[5001];

#define rev(ei) (e+(int((ei)-e)^1))

int maxflow,mincost;

bool vis[5001];

int dis[5001];

int dfs(int,int);

bool change();

void flow();

int main()

{

    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);

    for (int i=1;i<=m;++i)

    {

        int u,v,c,w;

        scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&c,&w);

        e[ne]={v,c,w,last[u]};

        last[u]=e+ne;

        ++ne;

        e[ne]={u,0,-w,last[v]};

        last[v]=e+ne;

        ++ne;

    }

    flow();

    printf("%d %d\n",maxflow,mincost);

    return 0;

}

int dfs(int x,int s)

{

    if (x==T)

    {

        maxflow+=s;

        mincost+=dis[S]*s;

        return s;

    }

    vis[x]=1;

    int have=0;

    for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)

        if (!vis[ei->to] && ei->c && dis[ei->to]+ei->w==dis[x])

        {

            int t=dfs(ei->to,min(s-have,ei->c));

            ei->c-=t;

            rev(ei)->c+=t;

            have+=t;

        }

    return have;

}

bool change()

{

    int d=INT_MAX;

    for (int i=1;i<=n;++i)

        if (vis[i])

            for (EDGE *ei=last[i];ei;ei=ei->las)

                if (!vis[ei->to] && ei->c)

                    d=min(d,dis[ei->to]-dis[i]+ei->w);//找出最小增加值

    if (d==INT_MAX)

        return 0;

    for (int i=1;i<=n;++i)

        if (vis[i])

            dis[i]+=d;//更改距离标号

    return 1;

}

void flow()

{

    maxflow=0;

    mincost=0;

    do

        do

            memset(vis,0,sizeof vis);

        while (dfs(S,INT_MAX));

    while (change());

}