【BZOJ1299】巧克力棒（博弈论，线性基）

题面

BZOJ

题解

\(Nim\)博弈的变形形式。

显然，如果我们不考虑拿巧克力棒出来的话，这就是一个裸的\(Nim\)博弈。

但是现在可以加入巧克力棒。加入巧克力棒的意义是修改当前的异或和。

如果不能够改变当前先后手赢的状态的话，那么必定不能够拿出一个巧克力棒的集合满足异或和为\(0\)。

初始情况下是先手必败的情况，因为先后不改变当前的必胜/必败情况，所以先手必须要拿出一个异或和为\(0\)的集合，并且使得剩下的部分不能够存在异或和为\(0\)的子集。不难证明如果剩下部分存在一个异或和为\(0\)的子集的话，必定也可以把这个子集拿出来使得不存在子集使得异或和为\(0\)。

那么，唯一需要判定的只剩下是否存在一个子集使得异或和为\(0\)了。直接线性基即可。

时间复杂度\(O(Tnlog)\)，所以\(n\)其实想出多大出多大，因为线性基内的元素个数最多不会超过\(log\)个，否则必定会出现线性相关，即存在一个子集满足异或和为\(0\)。

也就是说，真正的时间复杂度其实是\(O(Tmin(n,log)log)\)的，当\(n\)较大的时候瓶颈在于读入。

然而这题\(n\)小得可怜，直接暴力\(dfs\)都是可以的。

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define ll long long

#define MAX 15

inline int read()

{

	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();

	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();

	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();

	return t?-x:x;

}

struct xxj

{

	int p[31];

	bool insert(int x)

		{

			for(int i=30;~i;--i)

				if(x&(1<<i))

				{

					if(!p[i]){p[i]=x;return true;}

					x^=p[i];

				}

			return false;

		}

	void clear(){memset(p,0,sizeof(p));}

}G;

int n,a[MAX];

int main()

{

	int T=10;

	while(T--)

	{

		n=read();

		for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();

		G.clear();bool fl=false;

		for(int i=1;i<=n;++i)

			if(!G.insert(a[i]))fl=true;

		puts(fl?"NO":"YES");

	}

	return 0;

}