cogs 1330 [HNOI2008]玩具装箱toy

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瞎扯，急忙AC的请跳过

感觉数据结构写的太多了有点晕=+

发现还没学斜率优化+-

于是来学一学QwQ

上次这题打了个决策优化直接水过了。。理论O(n^2)

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蒯个链接

来推一推～

设f[i]为搞定区间1~i的答案。

推出转移方程：

\[f[i]=min(f[j]+(s_i-s_j+i-j-1-L)^2) (j\in[0,i-1])
\]

其中\(s_i\)为\(\sum_{j=1}^{i}C_j\)

这里优化一下：\(s_i\)表示\(i+\sum_{j=1}^{i}C_j\)，转移方程简化为

\[f[i]=min(f[j]+(s_i-s_j-1-L)^2) (j\in[0,i-1])
\]

其实没那个必要优化，只是看着爽

然后，\(s_i-1-L\)只和\(i\)有关，\(-s_j\)只和j有关。一次转移中\(i\)是不会变的，\(s_i-1-L\)也是不会变的。

令\(X=s_i-1-L\).

\(f[i]=min(f[j]+(X-s_j)^2)\)

\(\ \ \ \ \ \ =min(f[j]+X^2+s_j^2-2Xs_j)\)

那个\(X^2\)与\(j\)毫无关联，完全可以提出来。

\(\ \ \ \ \ \ =min(f[j]+s_j^2-2Xs_j)+X^2\)

换一个角度：一个\(j\)会转移给不同的\(i\)，转移过程中\(f[j]+s_j^2\)不会改变，改变的只有\(-2Xs_j\)

然后，由于\(X\)的不同，转移过去的值也不同。

这个值其实是个一次函数\(y=-2Xs_j+f[j]+s_j^2\).

把\(-2s_j\)看成\(k\)，把\(f[j]+s_j^2\)看成\(b\).

画出笛卡尔平面直角坐标系。

（自行脑补，懒得画了）

有一些线是不需要的，因为x取什么值，它都取不到最小，可以删除

然后维护一个单调队列放所有的线

可以发现\(k\)单调递减，\(x\)单调递增，所以很好维护，如果队首答案>队首+1答案直接hd++，懒得证。

怎么维护真的懒得写了。。。下凸壳的左半部分

然后直接上代码吧？

感觉是最详细的一篇博客了

// It is made by XZZ

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define rep(a,b,c) for(rg int a=b;a<=c;a++)

#define drep(a,b,c) for(rg int a=b;a>=c;a--)

#define erep(a,b) for(rg int a=fir[b];a;a=nxt[a])

#define il inline

#define rg register

#define vd void

#define db double

typedef long long ll;

il int gi(){

    rg int x=0,f=1;rg char ch=getchar();

    while(ch<'0'||ch>'9')f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();

    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();

    return x*f;

}

const int maxn=50001;

ll s[maxn],f[maxn];

struct line{ll k,b;};

struct point{db x,y;};

il point javascript(const line&a,const line&b){

	static point ret;

	ret.x=(a.b-b.b)/(db)(a.k-b.k);

	ret.y=ret.x*a.k+a.b;

	return ret;

}

line que[maxn];int hd,tl;

int main(){

	int n=gi();ll l=gi();

	rep(i,1,n)s[i]=gi()+s[i-1];

	rep(i,1,n)s[i]+=i;

	f[0]=0;

	hd=0,tl=-1;

	que[++tl]=(line){0,0};

	rep(i,1,n){

		static ll x;x=s[i]-l-1;

		while((tl^hd)&&que[hd].k*x+que[hd].b>que[hd+1].k*x+que[hd+1].b)++hd;

		f[i]=que[hd].k*x+que[hd].b+x*x;

		static line ls;ls=(line){-2*s[i],f[i]+s[i]*s[i]};

		while((tl^hd)&&javascript(ls,que[tl]).x>javascript(ls,que[tl-1]).x)--tl;

		que[++tl]=ls;

	}

	printf("%lld\n",f[n]);

	return 0;

}