地宫取宝
X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。
地宫的入口在左上角，出口在右下角。
小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。
走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。
当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。
请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。
【数据格式】
输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)
接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值
要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。
例如，输入：
2 2 2
1 2
2 1
程序应该输出：
2
再例如，输入：
2 3 2
1 2 3
2 1 5
程序应该输出：
14
资源约定： 峰值内存消耗 < 256M CPU消耗 < 1000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意: main函数需要返回0 注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。 注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include ， 不能通过工程设置而省略常用头文件。
提交时，注意选择所期望的编译器类型
思路：dfs模拟走格子，再出口处判断是否满足条件，这里出口处有细节点（代码中解释）
待改进：上面的思路超时了，只能过42%的数据。要用”记忆化搜索“改进（见文末）
代码一：
#include<iostream>
using namespace std;
long long ans = 0;
int arr[100][100];
int n,m,k;
int have[10010];
//判断是否能拿走当前坐标上的物件
bool canTake(int x,int y,int t){
for(int i=1;i<=t;i++){
if(have[i] >= arr[x][y]){
return false;
}
}
return true;
}
//dfs走格子
void dfs(int x,int y,int t){
if(x == n && y == m){
// （1）可能不算右下角的也正好
// （2）如果右下角的比当前的大，算上这一个如果正好也可以增加路径
if(t == k+1 || (t==k && canTake(n,m,t))){
ans++;
ans = ans % 1000000007;
}
return;
}
if(canTake(x,y,t)){
have[t] = arr[x][y];
if(x+1<=n){
dfs(x+1,y,t+1);
}
if(y+1<=m){
dfs(x,y+1,t+1);
}
have[t] = -1;
}
if(x+1<=n){
dfs(x+1,y,t); //走右边
}
if(y+1<=m){
dfs(x,y+1,t); //走下边
}
}
int main(){
cin>>n>>m>>k;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
cin>>arr[i][j];
}
}
for(int i=1;i<=k;i++){
have[i] = -1;
}
dfs(1,1,1);//横坐标 纵坐标 件数
cout<<ans<<endl;
}
记忆型递归：就是“缓存”，使用数组或者map等等。存储当前状态对应的值（这里就是当前dfs参数下对应的方案数），
为什么要使用记忆型递归？因为中间结果重复过多，为了提高效率。
代码二：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define N 1000000007
int n,m,k;
int map[50][50];
int dp[50][50][15][15];//dp数组中记录的是状态 xy坐标 拥有宝物数量 拥有宝物的最大值(这4个可以详尽唯一的描述没一种可能)
//如dp[3][4][5][6]=7 即当在map[3][4]且身上有5件宝物 宝物的最大值是6 是到达终点有7中路径
int dfs(int x,int y,int num,int max)//当前位置 拥有宝物的数量 拥有的宝物的最大值
{
if (dp[x][y][num][max]!=-1)//判断这个状态是否已经走过，如果走过就直接用记录的数值计算//因为宝物有可能为0所以定义max时用最小值-1 这就导致无法作为下标使用 实际上如果测试数据中宝物价值没有0
//将所有的+1 去掉也是可以的 这里的话如果去掉肯定是有些数据不对的，不信可以提交试一下，根本过不了
return dp[x][y][num][max];
//记忆化的记忆就指的是上面
if(x==n&&y==m){//到达出口
if( num==k||(num==k-1&&max<map[x][y]) ) //到达右下角，（1）可能不算右下角的也正好，（2）如果右下角的比当前的大，算上这一个如果正好也可以增加路径
return dp[x][y][num][max]=1; //满足条件 当前点到目标有1种方案
else
return dp[x][y][num][max]=0;//不满足条件 当前点到目标有0种方案
}
long long s=0;
if(x+1<=n){ //可以向下走
if (max<map[x][y])
s+=dfs(x+1,y,num+1,map[x][y]);//当前位置 拥有宝物的数量 拥有的宝物的最大值
s+=dfs(x+1,y,num,max); //当前位置 拥有宝物的数量 拥有的宝物的最大值
}
if(y+1<=m){ //可以向右走
if (max<map[x][y])
s+=dfs(x,y+1,num+1,map[x][y]);//当前位置 拥有宝物的数量 拥有的宝物的最大值
s+=dfs(x,y+1,num,max); //当前位置 拥有宝物的数量 拥有的宝物的最大值
}
return dp[x][y][num][max]=s%N;
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for (int i = 1;i<=n;i++)//初始地宫
for (int j = 1; j <=m; j++)
scanf("%d",&map[i][j]);
memset(dp,-1,sizeof(dp));
dfs(1,1,0,-1);
printf("%d\n",dp[1][1][0][-1]);
return 0;
}
解决数组下标为-1，可以将所有值+1
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MOD = 1000000007;
int n, m, k;
int data[50][50];
long long ans;
long long cache[50][50][14][13];
void dfs(int x, int y, int max, int cnt) {
if (x == n || y == m || cnt > k)
return;
int cur = data[x][y];
if (x == n - 1 && y == m - 1)
{
if (cnt == k || (cnt == k - 1 && cur > max)) {
ans++;
if (ans > MOD)
ans %= MOD;
}
}
if (cur > max) {
dfs(x, y + 1, cur, cnt + 1);
dfs(x + 1, y, cur, cnt + 1);
}
dfs(x, y + 1, max, cnt);
dfs(x + 1, y, max, cnt);
}
long long dfs2(int x, int y, int max, int cnt) {
if (cache[x][y][max+1][cnt] != -1)
return cache[x][y][max+1][cnt];
long long ans = 0;
if (x == n || y == m || cnt > k)
return 0;
int cur = data[x][y];
if (x == n - 1 && y == m - 1)
{
if (cnt == k || (cnt == k - 1 && cur > max)) {
ans++;
if (ans > MOD)
ans %= MOD;
}
return ans;
}
if (cur > max) {
ans += dfs2(x, y + 1, cur, cnt + 1);
ans += dfs2(x + 1, y, cur, cnt + 1);
}
ans += dfs2(x, y + 1, max, cnt);
ans += dfs2(x + 1, y, max, cnt);
cache[x][y][max+1][cnt]=ans % MOD;
return cache[x][y][max+1][cnt];
}
int main(int argc, const char *argv[]) {
scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = 0; j < m; ++j) {
scanf("%d", &data[i][j]);
}
}
// dfs(0, 0, -1, 0);
// printf("%d\n", ans);
memset(cache,-1, sizeof(cache));
printf("%lli\n", dfs2(0, 0, -1, 0));
return 0;
}