【2019.8.15 慈溪模拟赛 T2】组合数（binom）（卢卡斯定理+高维前缀和）

卢卡斯定理

题目中说到\(p\)是质数。

而此时要求组合数向质数取模的结果，就可以用卢卡斯定理：

\[C_x^y=C_{x\ div\ p}^{y\ div\ p}\cdot C_{x\ mod\ p}^{y\ mod\ p}
\]

也就是说，我们可以把\(x\)和\(y\)转化成两个\(p\)进制数，然后每一位分别求组合数后再乘起来。

所以问题来了，什么时候一个组合数的值模\(p\)为\(0\)？

由于它是质数，所以对于一个组合数\(C_a^b\)，当且仅当\(a<b\)时它的值才会为\(0\)。

也就是说，对于两个数\(x,y\)，只要\(y\)在\(p\)进制下有一位的值比\(x\)这一位大，\(C_x^y=0\)。

高维前缀和

考虑先容斥。

我们用总方案数（\(n^2\)）减去组合数不为\(0\)的组数，就是答案。

而\(C_x^y\)不为\(0\)，当且仅当\(y\)在\(p\)进制下每一位的值都小于等于\(x\)这一位。

是不是想到了高维偏序。。。

然后，这道题就变成裸的高维前缀和了。

如果你不知道高维前缀和，可以去看看我的这篇博客：浅谈高维前缀和。

代码

#include<bits/stdc++.h>

#define Tp template<typename Ty>

#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>

#define Reg register

#define RI Reg int

#define Con const

#define CI Con int&

#define I inline

#define W while

#define N 1000000

#define LL long long

#define Qinv(x) Qpow(x,X-2)

using namespace std;

int n,X,a[N+5],s[N+5];

class FastIO

{

	private:

		#define FS 100000

		#define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)

		#define tn (x<<3)+(x<<1)

		#define D isdigit(c=tc())

		char c,*A,*B,FI[FS];

	public:

		I FastIO() {A=B=FI;}

		Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!D);W(x=tn+(c&15),D);}

}F;

int main()

{

	freopen("binom.in","r",stdin),freopen("binom.out","w",stdout);

	RI i;LL p,ans=0;for(F.read(n),F.read(X),i=1;i<=n;++i) F.read(a[i]),++s[a[i]];//读入

	for(p=1;p<=N;p*=X) for(i=0;i<=N;++i) (i/p)%X&&(s[i]+=s[i-p]);//高维前缀和

	for(i=1;i<=n;++i) ans+=n-s[a[i]];return printf("%lld",ans),0;//容斥求答案

}