思路:五边形数定理!!!

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理,描述欧拉函数展开式的特性。欧拉函数的展开式如下:

亦即

欧拉函数展开后,有些次方项被消去,只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次,留下来的次方恰为广义五边形数。

若将上式视为幂级数,其收敛半径为1,不过若只是当作形式幂级数(formal power series)来考虑,就不会考虑其收敛半径。

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数,亦即:

其中为k的分割函数。

上式配合五边形数定理,可以得到

考虑项的系数,在 n>0 时,等式右侧的系数均为0,比较等式二侧的系数,可得

因此可得到分割函数p(n)的递归式

以n=10为例

这就是所求的了,当n<0时,p(n)=0;

p(n)的其他性质:

当限定将表示成刚好个正整数之和时,可以表示为。显然,。

代码如下:

 #include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<string>
#include<vector>
#define ll __int64
#define pi acos(-1.0)
#define MAX 100001
using namespace std;
const int mod=;
int an[MAX],n,t;
void init(){
int i,j;
an[]=an[]=;
an[]=;an[]=;an[]=;
an[]=;
for(i=;i<MAX;i++){
an[i]=;
for(j=;;j++){
int g=j*(*j-)/;
if(i-g<) break;
if(j&) an[i]+=an[i-g];
else an[i]-=an[i-g];
an[i]=an[i]%mod;
while(an[i]<) an[i]+=mod;
g=j*(*j+)/;
if(i-g<) break;
if(j&) an[i]+=an[i-g];
else an[i]-=an[i-g];
an[i]=an[i]%mod;
while(an[i]<) an[i]+=mod;
}
an[i]%=mod;
}
}
int main(){
init();
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",an[n]);
}
return ;
}
04-30 01:18