样条之埃尔米特（Hermite）

埃尔米特（Charles Hermite，1822—1901） 法国数学家。巴黎综合工科学校毕业。曾任法兰西学院、巴黎高等师范学校、巴黎大学教授。法兰西科学院院士。在函数论、高等代数、微分方程等方面都有重要发现。1858年利用椭圆函数首先得出五次方程的解。1873年证明了自然对数的底e的超越性。在现代数学各分支中以他姓氏命名的概念（表示某种对称性）很多，如“埃尔米特二次型”、“埃尔米特算子”等。

　　这种算法是由上一节讲的CatmullRom演变而成。

关于插值与样条的介绍请看：http://www.cnblogs.com/WhyEngine/p/4020294.html

核心代码：

 void    YcHermiteSpline::BuildWeights()

 {

     ClearWeights();

     for (Yuint i = ; i < ; i++)

     {

         m_splineWeights[i] = (Yreal*)malloc((m_subD)*sizeof(Yreal));

     }

     Yreal u, u_2, u_3;

     for (Yuint i = ; i < m_subD; i++)

     {

         u = (float)i / m_subD;

         u_2 = u * u;

         u_3 = u_2 * u;

         // 参见"游戏编程精粹1"P420

         /*

         m0 = ((1 - alpha) / 2.0f) * ((v2 - v1) + v3 - v2);

         m1 = ((1 - alpha) / 2.0f) * ((v3 - v2) + v4 - v3);

         dest = (((2 * t3) - (3 * t2) + 1) * v2) +

                 ((t3 - (2 * t2) + t) * m0) +

                 ((t3 - t2) * m1) +

                 (((-2 * t3) + (3 * t2)) * v3);

         ====================

         m0 = ((1 - alpha) / 2.0f) * (v3 - v1);

         m1 = ((1 - alpha) / 2.0f) * (v4 - v2);

         m0 = ((1 - alpha) / 2.0f) * v3 - ((1 - alpha) / 2.0f) * v1;

         m1 = ((1 - alpha) / 2.0f) * v4 - ((1 - alpha) / 2.0f) * v2;

         ====================

         dest = (((2 * t3) - (3 * t2) + 1) * v2) +

                 ((t3 - (2 * t2) + t) * ((1 - alpha) / 2.0f) * v3)

                -((t3 - (2 * t2) + t) * ((1 - alpha) / 2.0f) * v1)

                 ((t3 - t2) * ((1 - alpha) / 2.0f) * v4)

                -((t3 - t2) * ((1 - alpha) / 2.0f) * v2)

                 (((-2 * t3) + (3 * t2)) * v3);

         ====================

         v1: -((t3 - (2 * t2) + t) * ((1 - alpha) / 2.0f)

         v2: ((2 * t3) - (3 * t2) + 1) - (t3 - t2) * ((1 - alpha) / 2.0f)

         v3: (t3 - (2 * t2) + t) * ((1 - alpha) / 2.0f) + ((-2 * t3) + (3 * t2))

         v4: (t3 - t2) * ((1 - alpha) / 2.0f)

         */

         // CatmullRom

         // 貌似m_alpha==0时,Hermite就是CatmullRom

         //m_splineWeights[0][i] = (-1.0f*u_3 + 2.0f*u_2 - 1.0f*u + 0.0f)*0.5f;

         //m_splineWeights[1][i] = ( 3.0f*u_3 - 5.0f*u_2 + 0.0f*u + 2.0f)*0.5f;

         //m_splineWeights[2][i] = (-3.0f*u_3 + 4.0f*u_2 + 1.0f*u + 0.0f)*0.5f;

         //m_splineWeights[3][i] = ( 1.0f*u_3 - 1.0f*u_2 + 0.0f*u + 0.0f)*0.5f;

         m_splineWeights[][i] = -(u_3 - ( * u_2) + u) * ( - m_alpha) / 2.0f;

         m_splineWeights[][i] = ( * u_3) - ( * u_2) +  - (u_3 - u_2) * ( - m_alpha) / 2.0f;

         m_splineWeights[][i] = (- * u_3) + ( * u_2) + (u_3 - ( * u_2) + u) * ( - m_alpha) / 2.0f;

         m_splineWeights[][i] = (u_3 - u_2) * ( - m_alpha) / 2.0f;

     }

 }

切图：

相关软件的下载地址为：http://files.cnblogs.com/WhyEngine/TestSpline.zip