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写在前面
这篇文章将从3个角度：加权、模版匹配与几何来理解最后一层全连接+Softmax。掌握了这3种视角，可以更好地理解深度学习中的正则项、参数可视化以及一些损失函数背后的设计思想。
全连接层与Softmax回顾
深度神经网络的最后一层往往是全连接层+Softmax（分类网络），如下图所示，图片来自StackExchange。
先看一下计算方式：全连接层将权重矩阵与输入向量相乘再加上偏置，将\(n\)个\((-\infty, +\infty)\)的实数映射为\(K\)个\((-\infty, +\infty)\)的实数（分数）；Softmax将\(K\)个\((-\infty, +\infty)\)的实数映射为\(K\)个\((0, 1)\)的实数（概率），同时保证它们之和为1。具体如下：
\[\hat{\mathrm{y}} = softmax(\mathrm{z}) = softmax(\mathrm{W}^{T} \mathrm{x} + \mathrm{b})\]
其中，\(\mathrm{x}\)为全连接层的输入，\(W_{n \times K}\) 为权重，\(\mathrm{b}\)为偏置项，\(\hat{\mathrm{y}}\)为Softmax输出的概率，Softmax的计算方式如下：
\[softmax(z_j) = \frac{e^{z_j}}{\sum_K e^{z_j}}\]
若拆成每个类别的概率如下：
\[\hat{y_j} = softmax(z_j) = softmax(\mathrm{w}_{j} \cdot \mathrm{x} + b_j)\]
其中，\(\mathrm{w}_{j}\)为图中全连接层同一颜色权重组成的向量。
该如何理解？
下面提供3个理解角度：加权角度、模版匹配角度与几何角度
加权角度
加权角度可能是最直接的理解角度。
通常将网络最后一个全连接层的输入，即上面的\(\mathrm{x}\)，视为网络从输入数据提取到的特征。
\[z_j = \mathrm{w}_{j} \cdot \mathrm{x} + b_j = w_{j1} x_1 + w_{j2} x_2 + \dots + w_{jn} x_n + b_j\]
将\(\mathrm{w}_{j}\)视为第\(j\)类下特征的权重，即每维特征的重要程度、对最终分数的影响程度，通过对特征加权求和得到每个类别的分数，再经过Softmax映射为概率。
模板匹配
也可以将\(\mathrm{w}_{j}\)视为第\(j\)类的特征模板，特征与每个类别的模板进行模版匹配，得到与每个类别的相似程度，然后通过Softmax将相似程度映射为概率。如下图所示，图片素材来自CS231n。
如果是只有一个全连接层的神经网络（相当于线性分类器），将每个类别的模板可以直接可视化如下，图片素材来自CS231n。
如果是多层神经网络，最后一个全连接层的模板是特征空间的模板，可视化需要映射回输入空间。
几何角度
仍将全连接层的输入\(\mathrm{x}\)视为网络从输入数据提取到的特征，一个特征对应多维空间中的一个点。
如果是二分类问题，使用线性分类器\(\hat{y} = \mathrm{w} \cdot \mathrm{x} + b\)，若\(\hat{y}>0\)即位于超平面的上方，则为正类，\(\hat{y}<0\)则为负类。
多分类怎么办？为每个类别设置一个超平面，通过多个超平面对特征空间进行划分，一个区域对应一个类别。\(\mathrm{w}_{j}\)为每个超平面的法向量，指向正值的方向，超平面上分数为0，如果求特征与每个超平面间的距离（带正负）为
\[d_j = \frac{\mathrm{w}_{j} \cdot \mathrm{x} + b_j}{||\mathrm{w}_{j}||}\]
而分数\(z_j = ||\mathrm{w}_{j}|| d_j\)，再进一步通过Softmax映射为概率。
如下图所示：
Softmax的作用
相比\((-\infty, +\infty)\)范围内的分数，概率天然具有更好的可解释性，让后续取阈值等操作顺理成章。
经过全连接层，我们获得了\(K\)个类别\((-\infty, +\infty)\)范围内的分数\(z_j\)，为了得到属于每个类别的概率，先通过\(e^{z_j}\)将分数映射到\((0, +\infty)\)，然后再归一化到\((0 ,1)\)，这便是Softmax的思想：
\[\hat{y_j} = softmax(z_j) = \frac{e^{z_j}}{\sum_K e^{z_j}}\]
总结
本文介绍了3种角度来更直观地理解全连接层+Softmax，
- 加权角度，将权重视为每维特征的重要程度，可以帮助理解L1、L2等正则项
- 模板匹配角度，可以帮助理解参数的可视化
- 几何角度，将特征视为多维空间中的点，可以帮助理解一些损失函数背后的设计思想（希望不同类的点具有何种性质）
视角不同，看到的画面就不同，就会萌生不同的idea。有些时候，换换视角问题就迎刃而解了。
以上。