最长递增子序列LIS再谈

DP模型：

d(i) 以第 i 个元素结尾的最长递增子序列的长度。

那么就有 d(i) = max(d(j)) + 1;(j<i&&a[j]<a[i])，答案 max(d(i)); 时间复杂度为 O(n*n);

下面介绍一个用二分优化的O(nlogn)的算法。

用一个数组g[i] 表示 d 值为 i 的数的最小的 a;即 最长递增子序列为 i 时，最小的 a 是多少。

显然 g[i]<=g[2]<=g[3];

计算d[i] : 需要找到 g中大于等于a[i] 的第一个数 j ,d[i] = j;

更新g :     g[j] = a[i] ;

使用STL的lower_bound可以直接求出比a[i] 大的第一个数，用的二分查找实现，总时间O(nlogn);

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int a[];

int b[];

int main()

{

    int n;

    scanf("%d",&n);

    for(int i=;i<n;i++)

        scanf("%d",&a[i]);

    int len = ;

    b[] = a[];

    for(int i=;i<n;i++) {

        if(a[i]==b[len-])

            continue;

        if(a[i]>b[len-])

            b[len++] = a[i];

        else {

            int pos = lower_bound(b,b+len,a[i])-b;

            b[pos] = a[i];

        }

    }

    printf("%d\n",len);

    return ;

}

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define maxn 1005

#define INF 0x3f3f3f3f

int a[];

int g[];

int binary_search(int *s,int digit,int length) {

    int left = ,right = length,mid;

    while(right!=left) {

        mid = (left+right)/;

        if(digit==s[mid])

            return mid;

        else if(digit<s[mid])

            right = mid;

        else left = mid+;

    }

    return left;

}

int main()

{

    int n;

    scanf("%d",&n);

    for(int i=;i<=n;i++) {

        scanf("%d",&a[i]);

    }

    memset(g,INF,sizeof(INF));

    g[] = -;

    int len = ;

    int j;

    for(int i=;i<=n;i++) {

        j = binary_search(g,a[i],len);

        if(j==len)

            len++;

        g[j] = a[i];

    }

    printf("%d\n",len-);

    return ;

}