这章让我明白了原来自然数的定义本来就是个递归的过程。
我们通常用枚举的方式引出自然数的定义:0,1,2,3,等等(etc).最后的等等是什么意思？唯一能把等等从描述自然数的枚举方法中去除的方法是自引用，第一种尝试是：
0 is a natural number.
If n is a natural number, then one more than n is one, too.
虽然这种描述并不是十分严格，但对于scheme格式的数据定义来说，他是一个很好的开始:
natural-number(自然数是以下2者之一
1。0
2.（add1 n) 如果n个自然数
0是第一个自然数
(add1 0)是下一个，接着就明显了:
(add1 (add1 0))
(add1 (add1 (add1 0)))
这些例子让我们想到了表的构造过程，我们从empty出发，通过cons连接更多的元素，构造出表。现在我们从0出发，通过（不断地）使用add1加上1，构造出自然数。
处理自然数的函数必须能够提取构造自然数时所使用的数，就像处理表的函数能够提取cons结构中的元素一样，执行这种提取操作的被称为sub1,它的运算规则是:
(sub1 (add1 n) )= n
它与cdr操作的运算规则类似:
(cdr (cons a-value a-list))= a-list
习题11.2.1:设计一个函数repeat,该函数读入一个自然数n个一个符号，返回包含n个符号的表：
;; repeat : natural-number -> list-of-symbols
(define (repeat n a-symbol)
(cond
[(zero? n) empty]
[else (cons a-symbol (repeat (sub1 n) a-symbol))])) ;; Examples
(repeat 'doll) "should be" empty
(repeat 'rocket) "should be" (cons 'rocket (cons 'rocket empty))
习题11.2.2:
Develop the function tabulate-f, which tabulates the values of
;;f : number -> number
(define (f x)
(+ (* 3 (* x x))
(+ (* -6 x)
-1)))
for some natural numbers. Specifically, it consumes a natural number n and produces a list of n posns. The first one combines n with (f n), the second one n-1 with (f n-1), etc.
设计函数，把函数f应用于一些由自然数值组成的表，其中f是上面的函数。
具体地说，函数读取自然数n,返回有n个posn结构体组成表，表的第一个元素是点(n (f n)),第二个为(n-1 (f n-1)),以此类推。
;; a list-of-posns is either:
;; - empty
;; - (cons posn list-of-posns) ;; f : number -> number
(define (f x)
(+ (* (* x x))
(+ (* - x)
-))) ;; tabulate-f : number -> list-of-posns
;; produces a list of posns of length n. Each
;; posn's x coordinate is a number, from 0 to n, and each
;; posn's y coordinate is the result of f on the same posn's
;; x coordinate. #|
;; TEMPLATE
(define (tabulate-f n)
(cond
[(zero? n) ...]
[else (tabulate-f (sub1 n)) ...]))
|# (define (tabulate-f n)
(cond
[(zero? n) empty]
[else (cons (make-posn n (f n))
(tabulate-f (sub1 n)))])) ;; EXAMPLES AS TESTS
(tabulate-f ) "should be" empty
(tabulate-f ) "should be"
(cons (make-posn )
(cons (make-posn )
(cons (make-posn -)
(cons (make-posn -)
empty))))
11.2.4
Lists may contain lists that contain lists and so on. Here is a data definition that takes this idea to an extreme:
A deep-list is either
swheresis some symbol or(cons dl empty), wheredlis a deep list.
Develop the function depth, which consumes a deep list and determines how many times cons was used to construct it.
Develop the function make-deep, which consumes a symbol s and a natural number and produces a deep list containing s and constructed with nconses.
表的成员也可以是表，可以嵌套多层，下面就是这种思想的一个极端定义:
deep-list深层表示下列之一:
1.s其中s是symbol
2. （cons dl emtpy) dl是深层表。
设计函数depth，该函数读取一个深层表，测定这个表用了多少次cons来构成。设计函数make-deep,该函数读取符号s和自然数n，
返回包含s，使用n次cons构造的表。
;; depth : deep-list -> natural-number
;; counts the number of cons's used to create this deep list.
;depth:deep-list->number
(define (depth a-dl)
(cond
[(symbol? a-dl) ]
[else (+ (depth (car a-dl))) ]
)) (depth 'bottom) "should be" 0
(depth (cons (cons (cons (cons 'bottom empty) empty) empty) empty)) "should be" 4
(define (make-deep n s)
(cond
[(zero? n) s]
[else (cons (make-deep (sub1 n) s) empty)])) (make-deep 'bottom) "should be" 'bottom
(make-deep 'bottom) "should be"
(cons (cons (cons (cons 'bottom empty) empty) empty) empty)
DRracekt输出:'((((bottom))))
可以看到，很直观的表示4层嵌套。
自然数的另一种数据定义：
自然数（>=20）是系列之一：
1.20
2.（add 1 n)如果n是自然数。
说白了第一种定义时减法，第二种定义时加法。
计算从20(不包括20）到n(包括n）的乘积：
;计算n*(n-)...*
(define (product-from- n-above-)
(cond
[(= n-above- ) ]
[else (* n-above- (product-from- (sub1 n-above-)) )]
))
(product-from- ) ;462