[BZOJ 2839]集合计数

Description

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有 \(2^n\) 个集合，每个集合只包含 \([1,n]\) ，且这些集合两两不同。问有多少种选择方法（至少选一个），使得这些集合交集大小为 \(k\) 。

\(0\leq k\leq n\leq 1000000\)

Solution

设 \(f(n)\) 为交集元素大于 \(k\) 的方案数，设 \(g(n)\) 为交集元素等于 \(k\) 的方案数。

容易得到

\[f(k)=\sum_{i=k}^n{i\choose k}g(i)\Rightarrow g(k)=\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}{i\choose k}f(i)\]

并且 \(f(i)={n\choose i}2^{2^{n-i}}\) 。

直接求就好了。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1000000+5, yzh = 1000000007;

int n, k, ifac[N], fac[N], ans;

int quick_pow(int a, int b, int p) {

    int ans = 1;

    while (b) {

        if (b&1) ans = 1ll*ans*a%p;

        b >>= 1, a = 1ll*a*a%p;

    }

    return ans;

}

int C(int n, int m) {return 1ll*fac[n]*ifac[m]%yzh*ifac[n-m]%yzh; }

void work() {

    scanf("%d%d", &n, &k);

    fac[0] = fac[1] = ifac[0] = ifac[1] = 1;

    for (int i = 2; i <= n; i++) ifac[i] = -1ll*yzh/i*ifac[yzh%i]%yzh;

    for (int i = 2; i <= n; i++)

        fac[i] = 1ll*fac[i-1]*i%yzh, ifac[i] = 1ll*ifac[i]*ifac[i-1]%yzh;

    for (int i = k; i <= n; i++)

        if ((i-k)&1) (ans -= 1ll*C(i, k)*C(n, i)%yzh*quick_pow(2, quick_pow(2, n-i, yzh-1), yzh)%yzh) %= yzh;

        else (ans += 1ll*C(i, k)*C(n, i)%yzh*quick_pow(2, quick_pow(2, n-i, yzh-1), yzh)%yzh) %= yzh;

    printf("%d\n", (ans+yzh)%yzh);

}

int main() {work(); return 0; }