一些定义:
弦图是一种特殊图:它的所有极小环都只有3个顶点。
单纯点：该顶点与其邻接点在原图中的导出子图是一个完全图。
图G的完美消去序列：一个顶点序列aaa...a,使得对于每个元素a，a在aaa...a的导出子图中是一个单纯点。
弦图有一个性质：任何一个弦图都至少存在一个单纯点（该点和其邻接点组成一个完全图）
弦图另一个性质：一个图是弦图当且仅当其存在完美消去序列。（归纳证明）
最大势算法(msc）：若原图是弦图，则该算法计算出的序列是完美消去序列。
算法大致思想：从后往前计算序列，每次选择点v作为序列中的元素，v是还未选的点中与已经选了的点连边最多的点。
然后检查该序列是否是完美消去序列。
请看陈丹琦的ppt：《弦图与区间图》
BZOJ:
/**************************************************************
Problem: 1242
User: idy002
Language: C++
Result: Accepted
Time:544 ms
Memory:1816 kb
****************************************************************/ #include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 1010
#define M N*N*2 int n, m;
bool c[N][N];
int qu[N], inq[N], dgr[N];
int stk[N], top; void msc() {
dgr[] = -;
for( int i=n; i>=; i-- ) {
int s = ;
for( int u=; u<=n; u++ )
if( !inq[u] && dgr[u]>dgr[s] ) s=u;
qu[i] = s;
inq[s] = true;
for( int u=; u<=n; u++ )
if( !inq[u] && c[s][u] ) dgr[u]++;
}
}
bool check() {
for( int i=n; i>=; i-- ) {
int s=qu[i];
top = ;
for( int j=i+; j<=n; j++ )
if( c[s][qu[j]] ) stk[++top] = qu[j];
if( top== ) continue;
for( int j=; j<=top; j++ )
if( !c[stk[]][stk[j]] ) return false;
}
return true;
}
int main() {
scanf( "%d%d", &n, &m );
for( int i=,u,v; i<=m; i++ ) {
scanf( "%d%d", &u, &v );
c[u][v] = c[v][u] = ;
}
msc();
printf( "%s\n", check() ? "Perfect" : "Imperfect" );
}
ZOJ:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <vector>
#define maxn 1010
using namespace std; int n, m;
vector<int> g[maxn];
bool connect[maxn][maxn]; int id[maxn];
int label[maxn];
int seq[maxn]; struct Stat {
int lab, u;
Stat( int lab, int u ) : lab(lab), u(u) {}
bool operator<( const Stat & b ) const {
return lab<b.lab;
}
};
void mcs() {
priority_queue<Stat> pq;
memset( label, , sizeof(label) );
memset( id, , sizeof(id) );
for( int u=; u<=n; u++ ) pq.push(Stat(,u)); for( int i=n; i>=; i-- ) {
while( id[pq.top().u] ) pq.pop();
int u = pq.top().u;
pq.pop();
id[u] = i;
for( int t=; t<g[u].size(); t++ ) {
int v = g[u][t];
if( !id[v] ) {
label[v]++;
pq.push( Stat(label[v],v) );
}
}
}
for( int u=; u<=n; u++ )
seq[id[u]] = u;
} bool check() {
vector<int> c;
for( int i=; i<=n; i++ ) {
int u = seq[i];
c.clear();
for( int t=; t<g[u].size(); t++ ) {
int v = g[u][t];
if( id[v]>id[u] )
c.push_back(v);
}
if( c.empty() ) continue;
int sc = c[];
for( int t=; t<c.size(); t++ )
if( id[c[t]]<id[sc] ) sc=c[t];
for( int t=; t<c.size(); t++ ) {
int v = c[t];
if( v==sc ) continue;
if( !connect[sc][v] ) return false;
}
}
return true;
}
void init( int n ) {
memset( connect, false, sizeof(connect) );
for( int u=; u<=n; u++ ) g[u].clear();
}
int main() {
while() {
scanf( "%d%d", &n, &m );
if( n== && m== ) return ;
init(n);
for( int i=,u,v; i<=m; i++ ) {
scanf( "%d%d", &u, &v );
connect[u][v] = connect[v][u] = true;
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
mcs();
printf( "%s\n\n", check() ? "Perfect" : "Imperfect" );
}
}
暴力:每次找单纯点,删掉,再找,如果能删完就说明是.
O(n^4*...)
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <set>
#define N 110
#define foreach(it,s) for( typeof(s.begin()) it=s.begin(); it!=s.end(); it++ )
using namespace std; int n, m;
set<int> s;
set<int> g[N]; bool find_erase() {
foreach( u, s ) {
vector<int> vc;
foreach( v, g[*u] )
vc.push_back(*v);
bool ok = true;
for( int a=; a<vc.size() && ok; a++ )
for( int b=a+; b<vc.size() && ok; b++ )
if( g[vc[a]].count(vc[b])== )
ok = false;
if( ok ) {
s.erase(*u);
for( int t=; t<g[*u].size(); t++ )
g[vc[t]].erase(*u);
return true;
}
}
return false;
}
int main() {
scanf( "%d%d", &n, &m );
for( int i=; i<=n; i++ )
s.insert(i);
for( int i=,u,v; i<=m; i++ ) {
scanf( "%d%d", &u, &v );
if( g[u].count(v) ) continue;
g[u].insert(v);
g[v].insert(u);
}
for( int t=; t<=n; t++ ) {
if( !find_erase() ) {
printf( "Imperfect\n" );
return ;
}
}
printf( "Perfect\n" );
}