BZOJ 1006 完美消除序列&最大势算法&弦图

　　K国是一个热衷三角形的国度,连人的交往也只喜欢三角原则.他们认为三角关系:即AB相互认识,BC相互认识,CA相互认识,是简洁高效的.为了巩固三角关系,K国禁止四边关系,五边关系等等的存在.所谓N边关系,是指N个人 A1A2...An之间仅存在N对认识关系:(A1A2)(A2A3)...(AnA1),而没有其它认识关系.比如四边关系指ABCD四个人 AB,BC,CD,DA相互认识,而AC,BD不认识.全民比赛时,为了防止做弊，规定任意一对相互认识的人不得在一队，国王想知道最少可以分多少支队。

子图:V'为V的子集 E'为E的子集

诱导子图:对于V' 只要在G中有边 那么在G'中同样应该有边

最大独立集:最大的一个点的子集使任何两个点不相邻——最大独立集数

最大团:点数最多的团——团数

最小染色:用最少的颜色给点染色使相邻点颜色不同——色数

最小团覆盖:用最少个数的团覆盖所有的点——最小团覆盖数

结论:  团数<=色数  最大独立集数<=最小团覆盖数

弦(Chord):连接环中不相邻的两个点的边

弦图:一个无向图称为弦图，当图中任意长度大于3的环都至少有一个弦

弦图的每一个诱导子图一定是弦图

弦图的判断:

ZJU1015

给定一个无向图，判定它是否为弦图

单纯点:设N(v)为与点v相邻的点的点集 一个点是单纯点当且仅当{v}+N(v)的诱导子图为一个团

引理:任何一个弦图都至少有一个单纯点  不是完全图的弦图至少有两个不相邻的单纯点

完美消除序列:

一个点的序列(每个点出现且恰好出现一次)V1,V2....Vn满足Vi在{Vi,Vi+1,Vn}的诱导子图中为一个单纯点

定理:一个无向图是弦图当且仅当它有一个完美消除序列

MCS算法O(n+m):

 #include <cstdio>

 #include <cstring>

 #include <queue>

 #include <cstdlib>

 #define N 10000 + 10

 #define M 2000000 + 10

 using namespace std;

 struct edge

 {

     int to, next;

 }e[M];

 int n, m, num, ans, maxs;

 int p[N], seq[N], col[N], lab[N], flag[N];

 struct node

 {

     int now;

     node *next;

 }f[N];//链表

 void add(int x, int y)

 {

     e[++num].to = y;

     e[num].next = p[x];

     p[x] = num;

 }

 void put(int x)

 {

     node *po = (struct node *)malloc(sizeof(struct node));

     po->next = f[lab[x]].next;

     po->now = x;

     f[lab[x]].next = po;

 }//链表的插入

 void read(int &x)

 {

     x = ;

     char c = getchar();

     while(c < '' || c > '') c = getchar();

     while(c >= '' && c <= '')

     {

         x = (x << ) + (x << ) + c - '';

         c = getchar();

     }

 }

 void init()

 {

     int x, y;

     read(n), read(m);

     for (int i = ; i <= m; ++i)

     {

         read(x), read(y);

         if (x == y) continue;

         add(x, y);

         add(y, x);

     }

 }

 void create()

 {

     for (int i = ; i <= n; ++i)

     f[i].next = NULL;//

     for (int i = ; i <= n; ++i) put(i);

     maxs = ;//初始化

     for (int i = n; i; i--)//用逆序求

     {

         node *po = f[maxs].next;//找到当前最大

         while(flag[po->now])

         {

             f[maxs].next = po = po->next;//及时删除没有用的点（漏掉的话会超时）

             while(po == NULL)

             {

                 maxs--;

                 po = f[maxs].next;

             }

         }

         f[maxs].next = po->next;//更新

         while(f[maxs].next == NULL) maxs--;

         int x = po->now;

         flag[x] = , seq[i] = x;

         for (int j = p[x]; j; j = e[j].next)

         if (!flag[e[j].to])

         {

             ++lab[e[j].to];//加势

             if (lab[e[j].to] > maxs) maxs = lab[e[j].to];

             put(e[j].to);

         }

     }

 }

 void paint()

 {

     for (int i = ; i <= n; ++i)

     flag[i] = -;

     for (int i = n; i; i--)

     {

         int x = seq[i];

         for (int j = p[x]; j; j = e[j].next)

         flag[col[e[j].to]] = i;

         for (int j = ; j <= n; ++j)

         if (flag[j] != i)

         {

             col[x] = j;

             break;

         }

         if (ans < col[x]) ans = col[x];

     }

 }

 void deal()

 {

     create();

     paint();

     printf("%d\n", ans);

 }

 int main()

 {

     //freopen("kingdom.in", "r", stdin);

     //freopen("kingdom.out", "w", stdout);

     init();

     deal();

     return ;

 }

BZOJ 1006