【试题来源】
2011中国国家集训队命题答辩
【问题描述】
高一一班的座位表是个n*m的矩阵，经过一个学期的相处，每个同学和前后左右相邻的同学互相成为了好朋友。这学期要分文理科了，每个同学对于选择文科与理科有着自己的喜悦值，而一对好朋友如果能同时选文科或者理科，那么他们又将收获一些喜悦值。作为计算机竞赛教练的scp大老板，想知道如何分配可以使得全班的喜悦值总和最大。
【输入格式】
第一行两个正整数n，m。
接下来是六个矩阵
第一个矩阵为n行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择文科获得的喜悦值。
第二个矩阵为n行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择理科获得的喜悦值。
第三个矩阵为n-1行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。
第四个矩阵为n-1行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。
第五个矩阵为n行m-1列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。
第六个矩阵为n行m-1列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。
接下来是六个矩阵
第一个矩阵为n行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择文科获得的喜悦值。
第二个矩阵为n行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择理科获得的喜悦值。
第三个矩阵为n-1行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。
第四个矩阵为n-1行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。
第五个矩阵为n行m-1列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。
第六个矩阵为n行m-1列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。
【输出格式】
输出一个整数，表示喜悦值总和的最大值
【样例输入】
1 2
1 1
100 110
1
1000
1 1
100 110
1
1000
【样例输出】
1210
【样例说明】
两人都选理，则获得100+110+1000的喜悦值。
【数据规模和约定】
对于10%以内的数据，n,m<=4
对于30%以内的数据，n,m<=8
对于100%以内的数据，n,m<=100 数据保证答案在2^30以内
对于100%的数据，时间限制为0.5s。
对于30%以内的数据，n,m<=8
对于100%以内的数据，n,m<=100 数据保证答案在2^30以内
对于100%的数据，时间限制为0.5s。
【题解】
这道题的难点在于确定边权。最小割问题，割去的就是我们失去的部分；两点之间有关系，总是通过建边来实现的。对于这道题来说，每种情况我们都失去了什么？以源点代表文科，汇点代表理科。都选一科(三角环)，失去了共同选另一科和分别选另一科的喜悦值。分别选两科(二字形)，失去了两个共同喜悦值和两个单独选另一科的喜悦值。(可以证明可能出现的情况只有这两种，否则都不会是最小割)相同位置的边权构成一定相同，因此用数学方法推出每个人到源点或汇点的边权为个人喜悦值+1/2共同喜悦值，两点之间边权为1/2都选文+1/2都选理。注意共同边要双向建边，因为两点之间是完全等效的；每个人向源点和汇点的边应该在边权全部处理完之后再统一添加。
可以发现边权会出现实型，结果却一定是整型。对于这种情况，可以把边权全部*2，最后结果再/2来避免double的麻烦。dfs函数中有一个语句：if(!f) break;原先从来没打过，这道题不加这个却会超时，加了之后直接上榜，确实是一个非常有理有据的优化。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int sj=;
int n,m,sx[sj][sj],e,h[sj*sj],s,t,dep[sj*sj];
int w[sj][sj],l[sj][sj],g[sj][sj],z[sj][sj],a1,ans;
struct B
{
int ne,v,w;
}b[sj*sj*];
queue<int> q;
void add(int x,int y,int z)
{
b[e].v=y;
b[e].w=z;
b[e].ne=h[x];
h[x]=e++;
}
void init()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
t=n*m+;
memset(h,-,sizeof(h));
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=m;j++)
{
scanf("%d",&w[i][j]);
sx[i][j]=(i-)*m+j;
ans+=w[i][j];
w[i][j]*=;
}
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=m;j++)
{
scanf("%d",&l[i][j]);
ans+=l[i][j];
l[i][j]*=;
}
for(int i=;i<n;i++)
for(int j=;j<=m;j++)
{
scanf("%d",&a1);
ans+=a1;
g[i][j]=a1;
w[i][j]+=a1;
w[i+][j]+=a1;
}
for(int i=;i<n;i++)
for(int j=;j<=m;j++)
{
scanf("%d",&a1);
ans+=a1;
g[i][j]+=a1;
l[i][j]+=a1;
l[i+][j]+=a1;
add(sx[i][j],sx[i+][j],g[i][j]);
add(sx[i+][j],sx[i][j],g[i][j]);
}
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<m;j++)
{
scanf("%d",&a1);
ans+=a1;
z[i][j]=a1;
w[i][j]+=a1;
w[i][j+]+=a1;
add(s,sx[i][j],w[i][j]);
add(sx[i][j],s,);
}
for(int i=;i<=n;i++)
{
add(s,sx[i][m],w[i][m]);
add(sx[i][m],s,);
}
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<m;j++)
{
scanf("%d",&a1);
ans+=a1;
z[i][j]+=a1;
l[i][j]+=a1;
l[i][j+]+=a1;
add(t,sx[i][j],);
add(sx[i][j],t,l[i][j]);
add(sx[i][j],sx[i][j+],z[i][j]);
add(sx[i][j+],sx[i][j],z[i][j]);
}
for(int i=;i<=n;i++)
{
add(sx[i][m],t,l[i][m]);
add(t,sx[i][m],);
}
ans*=;
}
bool bfs(int x)
{
while(!q.empty()) q.pop();
memset(dep,,sizeof(dep));
dep[x]=;
q.push(x);
while(!q.empty())
{
x=q.front();
q.pop();
for(int i=h[x];i!=-;i=b[i].ne)
if(!dep[b[i].v]&&b[i].w)
{
dep[b[i].v]=dep[x]+;
if(b[i].v==t) return ;
q.push(b[i].v);
}
}
return ;
}
int bj(int x,int y)
{
return x<y?x:y;
}
int dfs(int x,int f)
{
if(x==t) return f;
int ans=,d;
for(int i=h[x];i!=-;i=b[i].ne)
if(dep[b[i].v]==dep[x]+&&b[i].w)
{
d=dfs(b[i].v,bj(f,b[i].w));
f-=d;
ans+=d;
b[i].w-=d;
b[i^].w+=d;
if(!f) break;
}
if(!ans) dep[x]=-;
return ans;
}
int main()
{
init();
while(bfs(s)) ans-=dfs(s,0x7fffffff);
printf("%d",ans/);
return ;
}
happiness