BZOJ4550 小奇的博弈【Nimk游戏 + dp + 组合数】

题目

这个游戏是在一个1*n的棋盘上进行的，棋盘上有k个棋子，一半是黑色，一半是白色。最左边是白色棋子，最右边

是黑色棋子，相邻的棋子颜色不同。

BZOJ4550 小奇的博弈【Nimk游戏 + dp + 组合数】-LMLPHP

小奇可以移动白色棋子，提比可以移动黑色的棋子，它们每次操作可以移动1到d个棋子。每当移动某一个棋子时，

这个棋子不能跨越两边的棋子，当然也不可以出界。当谁不可以操作时，谁就失败了。小奇和提比轮流操作，现在

小奇先移动，有多少种初始棋子的布局会使它有必胜策略？

输入格式

共一行，三个数，n，k，d。对于100%的数据，有1<=d<=k<=n<=10000, k为偶数，k<=100。

输出格式

输出小奇胜利的方案总数。答案对1000000007取模。

输入样例

10 4 2

输出样例

182

题解

面对各种数学轰炸。。跪了。

前置知识：

Nimk游戏

Nim游戏基础上，每次可以取之多d堆

先手必败条件：每堆石子转成二进制，各个位的和都为(d + 1)的倍数

例如可以取2次，石子数:111、101、110、011【二进制】

每一位都有2+1=3个1，所以先手必败

本题

黑白棋子相间分布，白棋右移，黑棋左移，每对棋子的间隔长就相当于石子数，而每次可以操作d次，就相当于Nimk游戏

求方案数

一共有K/2堆石子，总数不超过N - K个

首先，总的方案数为C(N,K)，我们尝试求出必败的方案数，作差

令f[i][j]表示每堆石子的二进制表示中最高位为i位【从0开始算】，总共有j和石子的方案数

那么有

f[i+1][j+x∗(d+1)∗2i]+=f[i][j]∗C(K/2,x∗(D+1))

原理：最高第i+1位的方案由最高第i位转移而来，每次同时加上(D+1)个1，可枚举x，表示加上x个(D+1)来进行转移，而每次加入x∗(D+1)组石子，又有C(K/2,x∗(D+1))种方法

【模型的转化，dp的应用，组合数的使用】

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define LL long long int

#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)

#define Redge(u) for (int k = h[u]; k != -1; k = ed[k].nxt)

using namespace std;

const int maxn = 10005,maxm = 105,INF = 1000000000,P = 1000000007;

LL C[maxn][maxm],f[20][maxn];

int main(){

    LL N,K,D;

    cin>>N>>K>>D;

    for (int i = 0; i <= N; i++){

        C[i][0] = 1;

        for (int j = 1; j <= i && j <= K; j++)

            C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % P;

    }

    f[0][0] = 1;

    for (LL i = 0; i <= 16; i++)

        for (LL j = 0; j <= N - K; j++)

            for (LL x = 0; x * (D + 1) <= K / 2 && x * (D + 1) * (1ll << i) + j <= N - K; x++)

                f[i + 1][j + x * (D + 1) * (1ll << i)] =

                (f[i + 1][j + x * (D + 1) * (1ll << i)] + f[i][j] * C[K/2][x * (D + 1)]) % P;

    LL ans = C[N][K];

    for (int i = 0; i <= N - K; i++)

        ans = (ans - f[16][i] * C[N - K - i + K / 2][K / 2] % P) % P;

    cout<<(ans + P) % P<<endl;

    return 0;

}

小奇