POJ 1753 Flip game ( 高斯消元枚举自由变量)

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题意：给定一个4*4的矩阵，有两种颜色，每次反转一个颜色会反转他自身以及上下左右的颜色，问把他们全变成一种颜色的最少步数。

题解：4*4的矩阵打表可知一共有四个自由变元，枚举变元求最小解即可。

代码：

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cmath>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#include <queue>

#include <vector>

#include <map>

#include <ctime>

using namespace std;

const int maxn=;

//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,列数为var+1,分别为0到var

int equ,var;

int a[maxn][maxn]; //增广矩阵

int x[maxn]; //解集

int free_x[maxn];//用来存储自由变元（多解枚举自由变元可以使用）

int free_num;//自由变元的个数

//返回值为-1表示无解，为0是唯一解，否则返回自由变元个数

int gauss()

{

    int max_r,col,k;

    free_num=;

    for(k=,col=; k<equ&&col<var; k++,col++)

    {

        max_r=k;

        for(int i=k+; i<equ; i++)

            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))

                max_r=i;

        if(!a[max_r][col])

        {

            k--;

            free_x[free_num++]=col;

            continue;

        }

        if(max_r!=k)

            for(int j=col; j<var+; j++)

                swap(a[k][j],a[max_r][j]);

        for(int i=k+; i<equ; i++)

        {

            if(a[i][col])

            {

                for(int j=col; j<var+; j++)

                    a[i][j]^=a[k][j];

            }

        }

    }

    for(int i=k; i<equ; i++)

        if(a[i][col])

            return -;

    if(k<var) return var-k;

    for(int i=var-; i>=; i--)

    {

        x[i]=a[i][var];

        for(int j=i+; j<var; j++)

            x[i]^=(a[i][j]&&x[j]);

    }

    return ;

}

int n;

void init()

{

    memset(a,,sizeof(a));

    memset(x,,sizeof(x));

    equ=n*n;

    var=n*n;

    for(int i=; i<n; i++)

        for(int j=; j<n; j++)

        {

            int t=i*n+j;

            a[t][t]=;

            if(i>) a[(i-)*n+j][t]=;

            if(i<n-) a[(i+)*n+j][t]=;

            if(j>) a[i*n+j-][t]=;

            if(j<n-) a[i*n+j+][t]=;

        }

}

int solve()

{

    int t=gauss();

    if(t==-)

    {

        return -;

    }

    else if(t==)

    {

        int ans=;

        for(int i=; i<n*n; i++)

            ans+=x[i];

        return ans;

    }

    else

    {

        //枚举自由变元

        int ans=0x3f3f3f3f;

        int tot=(<<t);

        for(int i=; i<tot; i++)

        {

            int cnt=;

            for(int j=; j<t; j++)

            {

                if(i&(<<j)) //注意不是&&

                {

                    x[free_x[j]]=;

                    cnt++;

                }

                else x[free_x[j]]=;

            }

            for(int j=var-t-; j>=; j--)

            {

                int idx;

                for(idx=j; idx<var; idx++)

                    if(a[j][idx])

                        break;

                x[idx]=a[j][var];

                for(int l=idx+; l<var; l++)

                    if(a[j][l])

                        x[idx]^=x[l];

                cnt+=x[idx];

            }

            ans=min(ans,cnt);

        }

        return ans;

    }

}

char str[][];

int main()

{

    n=;

    for(int i=;i<;i++)

    scanf("%s",str[i]);

    init();

    for(int i = ; i < ; i++)

        for(int j = ; j < ; j++)

        {

            if(str[i][j] == 'b')a[i*+j][] = ;

            else a[i*+j][] = ;

        }

    int ans1 = solve();

    init();

    for(int i = ; i < ; i++)

        for(int j = ; j < ; j++)

        {

            if(str[i][j] == 'b')a[i*+j][] = ;

            else a[i*+j][] = ;

        }

    int ans2 = solve();

    if(ans1 == - && ans2 == -)

        printf("Impossible\n");

    else printf("%d\n",min(ans1,ans2));

    return ;

}