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3.2 交叉熵损失函数
交叉熵（Cross Entropy）是Shannon信息论中一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性信息。在信息论中，交叉熵是表示两个概率分布 \(p,q\) 的差异，其中 \(p\) 表示真实分布，\(q\) 表示非真实分布，那么\(H(p,q)\)就称为交叉熵：
\[H(p,q)=\sum_i p_i \cdot \ln {1 \over q_i} = - \sum_i p_i \ln q_i \tag{1}\]
交叉熵可在神经网络中作为损失函数，\(p\) 表示真实标记的分布，\(q\) 则为训练后的模型的预测标记分布，交叉熵损失函数可以衡量 \(p\) 与 \(q\) 的相似性。
交叉熵函数常用于逻辑回归(logistic regression)，也就是分类(classification)。
3.2.1 交叉熵的由来
信息量
信息论中，信息量的表示方式：
\[I(x_j) = -\ln (p(x_j)) \tag{2}\]
\(x_j\)：表示一个事件
\(p(x_j)\)：表示\(x_j\)发生的概率
\(I(x_j)\)：信息量，\(x_j\)越不可能发生时，它一旦发生后的信息量就越大
假设对于学习神经网络原理课程，我们有三种可能的情况发生，如表3-2所示。
表3-2 三种事件的概论和信息量
WoW，某某同学不及格！好大的信息量！相比较来说，“优秀”事件的信息量反而小了很多。
熵
\[H(p) = - \sum_j^n p(x_j) \ln (p(x_j)) \tag{3}\]
则上面的问题的熵是：
\[\begin{aligned}H(p)&=-[p(x_1) \ln p(x_1) + p(x_2) \ln p(x_2) + p(x_3) \ln p(x_3)] \\&=0.7 \times 0.36 + 0.2 \times 1.61 + 0.1 \times 2.30 \\&=0.804\end{aligned}\]
相对熵(KL散度)
相对熵又称KL散度，如果我们对于同一个随机变量 \(x\) 有两个单独的概率分布 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异，这个相当于信息论范畴的均方差。
KL散度的计算公式：
\[D_{KL}(p||q)=\sum_{j=1}^n p(x_j) \ln{p(x_j) \over q(x_j)} \tag{4}\]
\(n\) 为事件的所有可能性。\(D\) 的值越小，表示 \(q\) 分布和 \(p\) 分布越接近。
交叉熵
把上述公式变形：
\[\begin{aligned}D_{KL}(p||q)&=\sum_{j=1}^n p(x_j) \ln{p(x_j)} - \sum_{j=1}^n p(x_j) \ln q(x_j) \\&=- H(p(x)) + H(p,q)\end{aligned}\tag{5}\]
等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：
\[H(p,q) =- \sum_{j=1}^n p(x_j) \ln q(x_j) \tag{6}\]
在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即\(D_{KL}(y||a)\)，由于KL散度中的前一部分\(H(y)\)不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用交叉熵做损失函数来评估模型。
\[loss =- \sum_{j=1}^n y_j \ln a_j \tag{7}\]
其中，\(n\) 并不是样本个数，而是分类个数。所以，对于批量样本的交叉熵计算公式是：
\[J =- \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n y_{ij} \ln a_{ij} \tag{8}\]
\(m\) 是样本数，\(n\) 是分类数。
有一类特殊问题，就是事件只有两种情况发生的可能，比如“学会了”和“没学会”，称为\(0/1\)分布或二分类。对于这类问题，由于\(n=2\)，所以交叉熵可以简化为：
\[loss =-[y \ln a + (1-y) \ln (1-a)] \tag{9}\]
二分类对于批量样本的交叉熵计算公式是：
\[J= - \sum_{i=1}^m [y_i \ln a_i + (1-y_i) \ln (1-a_i)] \tag{10}\]
3.2.2 二分类问题交叉熵
把公式10分解开两种情况，当\(y=1\)时，即标签值是1，是个正例，加号后面的项为0：
\[loss = -\ln(a) \tag{11}\]
横坐标是预测输出，纵坐标是损失函数值。y=1意味着当前样本标签值是1，当预测输出越接近1时，损失函数值越小，训练结果越准确。当预测输出越接近0时，损失函数值越大，训练结果越糟糕。
当y=0时，即标签值是0，是个反例，加号前面的项为0：
\[loss = -\ln (1-a) \tag{12}\]
此时，损失函数值如图3-10。
图3-10 二分类交叉熵损失函数图
假设学会了课程的标签值为1，没有学会的标签值为0。我们想建立一个预测器，对于一个特定的学员，根据出勤率、课堂表现、作业情况、学习能力等等来预测其学会课程的概率。
对于学员甲，预测其学会的概率为0.6，而实际上该学员通过了考试，真实值为1。所以，学员甲的交叉熵损失函数值是：
\[loss_1 = -(1 \times \ln 0.6 + (1-1) \times \ln (1-0.6)) = 0.51\]
对于学员乙，预测其学会的概率为0.7，而实际上该学员也通过了考试。所以，学员乙的交叉熵损失函数值是：
\[loss_2 = -(1 \times \ln 0.7 + (1-1) \times \ln (1-0.7)) = 0.36\]
由于0.7比0.6更接近1，是相对准确的值，所以 \(loss2\) 要比 \(loss1\) 小，反向传播的力度也会小。
3.2.3 多分类问题交叉熵
当标签值不是非0即1的情况时，就是多分类了。假设期末考试有三种情况：
- 优秀，标签值OneHot编码为\([1,0,0]\)
- 及格，标签值OneHot编码为\([0,1,0]\)
- 不及格，标签值OneHot编码为\([0,0,1]\)
假设我们预测学员丙的成绩为优秀、及格、不及格的概率为：\([0.2,0.5,0.3]\)，而真实情况是该学员不及格，则得到的交叉熵是：
\[loss_1 = -(0 \times \ln 0.2 + 0 \times \ln 0.5 + 1 \times \ln 0.3) = 1.2\]
假设我们预测学员丁的成绩为优秀、及格、不及格的概率为：\([0.2,0.2,0.6]\)，而真实情况是该学员不及格，则得到的交叉熵是：
\[loss_2 = -(0 \times \ln 0.2 + 0 \times \ln 0.2 + 1 \times \ln 0.6) = 0.51\]
可以看到，0.51比1.2的损失值小很多，这说明预测值越接近真实标签值（0.6 vs 0.3），交叉熵损失函数值越小，反向传播的力度越小。
3.2.4 为什么不能使用均方差做为分类问题的损失函数？
回归问题通常用均方差损失函数，可以保证损失函数是个凸函数，即可以得到最优解。而分类问题如果用均方差的话，损失函数的表现不是凸函数，就很难得到最优解。而交叉熵函数可以保证区间内单调。
分类问题的最后一层网络，需要分类函数，Sigmoid或者Softmax，如果再接均方差函数的话，其求导结果复杂，运算量比较大。用交叉熵函数的话，可以得到比较简单的计算结果，一个简单的减法就可以得到反向误差。