What is Check digit?
以人人都有，人人都必须要记得的身份证举例，18位数字组合的方式是：
4个码解释：
- 地址码
对于内地户籍居民，地址码是公民首次获得身份号码（例如新生儿出生登记、无户口人员登记户口）时所在县（市、镇、区）的行政区划代码，如110102是北京市西城区，如果日后行政区划出现调整或将户口迁往外地地址码也不会改变。由于新生儿通常根据属人主义确定户籍，故地址码并不总能代表公民的出生地。
对于港澳台居民，地址码根据居民的实际身份分配香港、澳门或台湾的行政区划代码，只精确到省级，第三位至第六位全部为0。[1][2][3] - 出生日期码
表示公民出生的公历年（4位）、月（2位）、日（2位）。 - 顺序码
是给同地址码同出生日期码的人编定的顺序号，其中奇数分配给男性，偶数分配给女性。 - 校验码
这里采用的是ISO 7064:1983, MOD 11-2校验码系统。校验码为一位数，但如果最后采用校验码系统计算的校验码是“10”，碍于身份证号码为18位的规定，则以“X”代替校验码“10”。
思考：这个校验码是什么？怎么计算出来的?
校验码的原理
身份证的最后一位数字就是验证码，是通过前面的数字进行简单的数学运算后计算出来的。下面我们就来看一下它究竟是怎么算出来的，为什么要进行这样的运算。
为什么会有 X？
最后一位只能有：1-10 里面任意一个数字。
身份证后面的X并不是字母X，而是罗马数字里的10。为什么不写10呢？因为如果是10，写出来身份证号码就变成19位了。在编码学中，不一样的数位就不太容易存储或者使用。
那么问题来了，那为什么最后一位的校验码会算出10呢？怎么能算出1-10？
需要了解一下弃九数
“弃九数”验算法的启发
什么叫弃九数？
比如有一个数字是：3217
- 如果把它每一位上的数字连续相加，3加2加1加7等于13。
- 继续把13的每一位上的数字相加，1加3等于4。
- 直到得到个位数字4为止，这个
4就叫做3217的弃九数。
（其实这个弃九数就是3217除以9之后的余数，只不过这种连续相加是一种快速算法法，很早以前的数学家就知道了。）
弃九数有什么用呢？
它关键是要检验运算是否准确。 这个时候就有弃九法了，大家想一想，平常在计算加减乘除运算的时候，是不是经常容易算错？
古人就很聪明，发明了弃九法。
比如，
现在要检查一个乘法运算：$$ 3169 * 732 = 2319708 $$ 是否准确？
- 如果没有别的方法的话，只能把它重新算一遍。
但是弃九法是怎么检验的？
- 首先把3169的弃九数求出来，它是1。就是把每一位连续相加，最后得到个位数字1。
- 732它的弃九数是3。
- 2319708的弃九数是3。
- 最后，(用等式迁移的思维)我们看一下，1乘以3是不是等于3，结果是准确的。$$ 1 * 3 = 3 $$
这说明前面非常大的数字的乘法运算，大概率是正确的。但是如果用弃九法检验是错误的，说明前面的运算一定是错误的。
这就是古人的验算方法，充满了智慧（智慧一定不是指莽干）。
数学家只是有高维优势，普通计算都一样菜！
古代也有很多工程类计算，需要达到高精度的运算，前辈的数学家也需要检验。即使是一流的数学家，他也只是比普通人在考虑高维问题的时候具有优势。但是如果是比纯粹的加减乘除运算，数学家相对普通人来讲，其实他们的差别并不大。
弃九法和同余理论的关系
在弃九法发展的过程中，数学家们逐渐还认识到了弃七法、弃十一法、弃十三法等。这些方法其实都属于今天初等数论中的同余理论。
初等数论的教学大纲(高中数学课本)：
什么是同余理论?
（这里只是初步入门介绍）
这种同余理论在我们日常生活中比较常见的服务是什么？
是计算校验码。 回归到正题了，身份证最后一位就是校验码。
注意：我说的校验码和你手机里的短信验证码，不是一码事，不是一个概念！注意区分。
为什么需要校验码？
和我们生活最息息相关的校验码就在身份证上。我们平常在手机或者电脑经常需要输入身份证号码，假如没有校验码，就是输入17位数字，很容易发生不小心有一位输错了，键盘的数字挨着近，或者某两位颠倒位置的情况。 那么有了第18位校验码，就能及时发现这种情况。正是因为一个小小的校验码，就可以保证整个系统的安全性。
身份证的校验码计算步骤（文字描述版）：
那它是怎么算的？主要分三步：
- 首先身份证号码总共是17位，把前17位号码依次乘以不同的系数。比如第一位乘以7，第二位乘以9，第三位乘以10，以此类推，这在数学上叫做
加权因子。相同两位加权因子不一样，是为了区分数位。（加权因子的作用）
系数为：7、9、10、5、8、4、2、1、6、3、7、9、10、5、8、4、2
更通俗的说：第1位*7、第2位*9、第3位*10、第4位*5、第5位*8、第6位*4、第7位*2、第8位*1、第9位*6、第10位*3、第11位*7、第12位*9、第13位*10、第14位*5、第15位*8、第16位*4、第17位*2
把这17个乘积相加，然后取模11得余数；
余数和校验码对应表：
计算出来的余数和校验码表对应，如果对应上了，就是正确。如果对应不上，就是错误。
身份证的校验码计算步骤（公式描述版）：
实际做一次操作
例子：410928198904015474
8 对应 4 ，正确！
同余理论的验证思想，无处不在
- 计算校验码，各种校验码，书后面的ISBN编号，钱上的编号，证件上的码，密码的...
- 信号丢失
在通信中，信号丢失是很正常的情况。为了防止信号丢失所造成的损失。可以考虑在信号后面加上校验码，这样前面如果丢失一个数字的情况下，还可以通过校验码找回来。如果信号是N位的，而我们在后面加上N-1位，那么就可以有前面丢失了N-1位时还能找回完整的信息。这种方法比单纯的重复发一遍信息要有效得多。
编码是代数中的一个应用分支，是非常有用的。