hdu3506 Monkey Party (区间dp+四边形不等式优化)

题意：给n堆石子，每次合并相邻两堆，花费是这两堆的石子个数之和（1和n相邻），求全部合并，最小总花费

若不要求相邻，可以贪心地合并最小的两堆。然而要求相邻就有反例

为了方便，我们可以把n个数再复制一遍，放到第n个数后，就不用考虑环的问题了

我们设f[i][j]为合并区间[i,j]所需要的最小花费，然后就可以得到

f[i][j]=min{f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i,j]} ,i<=k<=j,i<j;

f[i][i]=0

然后就可以用$O(n^3)$的复杂度递推啦。此题结束。

然而n<=1000...

四边形不等式：

若f[i][j]=min{f[i][k]+f[k+1][j]+w[i][j]} ,i<=k<=j；

　s[i][j]为使f[i][j]取到最小值的k ，其中有(a<=b<=c<=d)

　　1.w[b][c]<=w[a][d] （w满足区间包含单调性）

　　2.w[a][c]+w[b][d]<=w[b][c]+w[a][d] （w满足四边形不等式）

　则f也满足四边形不等式（*）

　所以s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j] （**）

*、**:太麻烦了不证了！

于是就可以优化刚才的dp（sum显然满足以上两点），每次的k不是从i枚举到j，而是从s[i][j-1]枚举到s[i+1][j]，这样，平摊下来，就可以在O(1)复杂度完成f[i][j]的计算

然而我很沙雕的设f[i][j]表示长度为i，从j开始的区间了..虽然影响不大但是感觉写起来变得有点迷

然后按照我的写法，n=1的时候是要特判的...

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 #include<vector>

 #include<queue>

 #include<cmath>

 #define LL long long int

 #define inf 0x3f3f3f3f

 using namespace std;

 const int maxn=;

 LL rd(){

     LL x=;char c=getchar();int neg=;

     while(c<''||c>''){if(c=='-') neg=-;c=getchar();}

     while(c>=''&&c<='') x=x*+c-'',c=getchar();

     return x*neg;

 }

 int N,num[maxn];

 int f[maxn][maxn][],sum[maxn];

 int main(){

     int i,j,k;

     while(~scanf("%d",&N)){

         int ans=inf;

         for(i=;i<=N;i++) num[i+N]=num[i]=rd();

         if(N==){printf("0\n");continue;}

         for(i=;i<=*N;i++) sum[i]=sum[i-]+num[i],f[][i][]=i;

         for(i=;i<=N;i++){

             for(j=;j<*N-i+;j++){

                 f[i][j][]=inf;

                 for(k=f[i-][j][];k<=f[i-][j+][];k++){

                     int a=f[k-j+][j][]+f[i-k+j-][k+][];

                     if(a<f[i][j][]) f[i][j][]=a,f[i][j][]=k;

                 }f[i][j][]+=sum[i+j-]-sum[j-];

             if(i==N) ans=min(ans,f[i][j][]);

             }

         }printf("%d\n",ans);

     }

     return ;

 }