【Luogu】P1613 跑路

一、题目

题目描述

小A的工作不仅繁琐，更有苛刻的规定，要求小A每天早上在6：00之前到达公司，否则这个月工资清零。可是小A偏偏又有赖床的坏毛病。于是为了保住自己的工资，小A买了一个十分牛B的空间跑路器，每秒钟可以跑2^k千米（k是任意自然数）。当然，这个机器是用longint存的，所以总跑路长度不能超过maxlongint千米。小A的家到公司的路可以看做一个有向图，小A家为点1，公司为点n，每条边长度均为一千米。小A想每天能醒地尽量晚，所以让你帮他算算，他最少需要几秒才能到公司。数据保证1到n至少有一条路径。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个整数n，m，表示点的个数和边的个数。

接下来m行每行两个数字u，v，表示一条u到v的边。

输出格式：

一行一个数字，表示到公司的最少秒数。

输入输出样例

输入样例#1：

4 4

1 1

1 2

2 3

3 4

输出样例#1：

1

说明

【样例解释】

1->1->2->3->4，总路径长度为4千米，直接使用一次跑路器即可。

【数据范围】

50%的数据满足最优解路径长度<=1000；

100%的数据满足n<=50，m<=10000，最优解路径长度<=maxlongint。

二、题解

有点像最短路是吧。不过显然m条边是不够的，小A每次可以走\(2^k\)步，所以除了\(k=0\)即读入的边，我们还需要一些其他的边。考虑\(2^k(k \geq 1)\)，是由2条\(2^{k-1}\)的边连接的。设\(edge[i][j][k]\)表示从\(i\)到\(j\)是否可以通过\(2^k\)的边。所以可以用倍增求出所有其他的边。最后跑一遍最短路就好了。

三、代码

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cstdlib>

#include <cmath>

#include <iostream>

#include <algorithm>

using namespace std;

const int INF = 1e9;

const int MAXN = 50;

int n, m, edge[MAXN + 5][MAXN + 5][40], dis[MAXN + 5][MAXN + 5];

int main() {

	scanf("%d%d", &n, &m);

	for (int i = 1; i <= m; ++i) {

		int u, v;

		scanf("%d%d", &u, &v);

		edge[u][v][0] = true;

	}

	for (int k = 1; k <= 32; ++k)

		for (int i = 1; i <= n; ++i)

			for (int j = 1; j <= n; ++j)

				for (int l = 1; l <= n; ++l)

					edge[i][j][k] = edge[i][j][k] || edge[i][l][k - 1] && edge[l][j][k - 1];

	for (int i = 1; i <= n; ++i)

		for (int j = 1; j <= n; ++j)

			dis[i][j] = INF;

	for (int i = 1; i <= n; ++i)

		for (int j = 1; j <= n; ++j)

			for (int k = 0; k <= 32; ++k)

				if (edge[i][j][k])

					dis[i][j] = 1;

	for (int k = 1; k <= n; ++k)

		for (int i = 1; i <= n; ++i)

			for (int j = 1; j <= n; ++j)

				dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);

	printf("%d\n", dis[1][n]);

	return 0;

}