exgcd入门以及同余基础

gcd,欧几里得的智慧结晶,信息竞赛的重要算法,数论的...(编不下去了

讲exgcd之前,我们先普及一下同余的性质:

  1. 扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP
  2. 扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP
  3. 扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP
  4. 扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP,那么扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP
  5. 扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP,且p1,p2互质,扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP

有了这三个式子,就不用怕在计算时溢出了。

下面我会用扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP分别表示a与b的最大公约数与最小公倍数。

首先会来学扩欧的同学肯定都会欧几里得算法(即辗转相除法)了吧

而通过观察发现:扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP,先除后乘防溢出。

所以扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP的代码如下:

 inline int gcd(int a,int b)
{return (b==)?a:gcd(b,a%b);}
inline int lcm(int a,int b)
{return a/gcd(a,b)*b;

讲exgcd之前先引入一种方程——不定方程

所谓不定方程,是指未知数的个数多于方程个数,且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。

————百度百科

就是形如扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP的方程,其中a,b,c已知。

1.判断是否有解

如果扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP,那么方程无解。

2.转化

方程可转化为扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP

其中扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP

3.求一组特解

接着就用到了exgcd。

我们知道gcd有一个性质扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP

如果,一直循环下去,b将等于0,那么x将等于c/a,y=0。

 inline void exgcd(int a,int b,int c)
{
if(!b)
{x=c/a;y=;return;}
exgcd(b,a%b,c);
x=y;
y=(c-a*x)/b;
return;
}

这就求出了一组特解。

exgcd的模板我也在这摆出来

 inline void exgcd(int a,int b)
{
if(!b)
{x=;y=;return;}
exgcd(b,a%b);
k=x;x=y;
y=k-a/b*y;
return;
}

这是求扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP时用的,后面讲同余方程会讲。

4.构造通解

我们假设x1,y1是我们求出的一组特解,那么

扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP     扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP


同余类问题

1.单个同余方程

求的是扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP关于x的解

转化一下,就成了扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP,就可以直接套exgcd模板。

2.同余方程组

扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP

1.有解的充要条件扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP

2.扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP

下式减上式得扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP

再用exgcd求出y1和y2,扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP

3.关于通解

所有的x mod lcm(p1,p2)有唯一解,这样就可以通过特解,求通解了。

4.至于式子更多的同余方程组,就先联立两个,就可以得出新的方程扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP

再联立下一个。


exgcd用处及题目讲解

1.求同余方程的解

例如这道题P1082

这是一道裸的扩欧模板题,变形之后就是求扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP

套模板即可。

 inline void exgcd(int a,int b)
{
if(b==)
{x=;y=;return;}
exgcd(b,a%b);
k=x;x=y;
y=k-a/b*y;
return;
}
int main()
{
int n,m;
read(n),read(m);
exgcd(n,m);
printf("%d",(x+m)%m);
}

还有一道模板P1516

仔细观察,推一下后我们发现,这在就是在求扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP的解。

进而可以推出扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP

合并同类项后扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP

把一些东西移到左边来后扩展欧几里得(exgcd)与同余详解-LMLPHP

把(x-y),(n-m)各看成一个整体后,问题就成了解一个不定方程。

 inline int exgcd(long long a,long long b)
{
if(b==)
{x=;y=;return a;}
ans=exgcd(b,a%b);
k=x;x=y;
y=k-a/b*y;
return ans;
}
int main()
{
long long x1,y1,m,n,l;
read(x1),read(y1),read(m),read(n),read(l);
if(n-m<)swap(x1,y1);
exgcd(std::abs(n-m),l);
if((x1-y1)%ans!=)
printf("Impossible");
else
printf("%lld",((x*((x1-y1)/ans))%(l/ans)+(l/ans))%(l/ans));
}

还有一道也是模板P4777,涉及同余方程组求解,上面已详细的讲了,近期我也会发一篇中国剩余定理的博客

 inline long long mul(long long a,long long b,long long mod)
{
long long res=;
while(b>)
{
if(b&) res=(res+a)%mod;
a=(a+a)%mod;
b>>=;
}
return res;
}
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if(!b)
{x=;y=;return a;}
long long gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
k1=x;x=y;
y=k1-a/b*y;
return gcd;
}
int main()
{
io::begin();
io::read(n);
for(register int i=;i<=n;i++)
io::read(b1[i]),io::read(a1[i]);
long long x,y,k;
long long m=b1[],ans=a1[];
for(int i=;i<=n;i++)
{
long long a=m,b=b1[i],c=(a1[i]-ans%b+b)%b;
long long gcd=exgcd(a,b,x,y);
long long p=b/gcd;
x=mul(x,c/gcd,p);
ans+=x*m;
m*=p;
ans=(ans%m+m)%m;
}
printf("%lld",(ans%m+m)%m);
}

2.扩欧求逆元

这是一种很重要的算法,至于逆元怎么跟扩欧扯上关系,大家可以点这里乘法逆元及两道模板题详解

这里就不多赘述了,大家可以用扩欧a一下P3811,P2613。


我要讲的讲完了,如果觉得讲的还好,请关注我的blog,谢谢

05-07 15:13