题目描述
N个点M条边的无向图，每个点有一个初始颜色，每次改变一个点的颜色，求改变后整张图上颜色不同的点之间的距离最小值。
思路
考虑整张图的距离最小值一定是一条边，而不可能是一条路径，那么显然这条边一定在MST上，于是我们考虑怎样维护这棵MST。
- 首先我们用kruskal建出MST，然后转化为有根树，把边权下放为点权，只维护每个点和它儿子的信息。
- 我们对每个节点所有儿子的颜色开一个multiset，维护每个点的儿子中每种颜色对应的最小边权（此时下放为点权），为了节省空间我们用map映射把颜色那维去掉，即$CLS_{u,col}}
- 接着我们再对每个点开一个multiset维护每个点儿子中所有颜色对应的最小边权的最小值（就是上一个multiset维护的东西的最小值）。即$best[u]=min\{CLS_{u,c} \}_{C \in all colors }$
- 最后我们对全局开一棵线段树，维护每个点的best中和它颜色不同的点的最小值，便于修改和查询。
- 于是每个点的答案不是$*best.begin()就是*(best.begin()+1)$，如果儿子中点权最小的儿子和父亲颜色相同，那么显然是次小的（或者无解）。
- 怎样修改，考虑我们修改u时，先把$u$从父亲节点的信息中删去，再加回来。这里的方法是：先把$best$中对应的$col[u]$的信息删掉，然后把当前点所在的$cls[f[u]][col]$中找到并删去当前点，重新排序后再加入$best$中；接着把u的信息加入到$cls[f[u]][B]$（B为修改后颜色）中，同样先删去$best$中B的信息删掉，然后把u的信息加入$cls[f[u][B]$中，重新排序后再加入$best$中。
#include<bits/stdc++.h>
#define I inline
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define ls (now<<1)
#define rs (now<<1|1)
#define smid (l+r>>1)
using namespace std;
typedef map<int,multiset<int> >::iterator itcls;
//神仙typedef，这里是map的指针，it->fi是前面的集合，it->se是后面映射的集合
typedef set<pair<int,int> >::iterator itset;//it是一个pair型的东西
const int N=;
const int inf=;
I int read()
{
int x=,f=;char ch=getchar();
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
return x*f;
} struct EDGE
{
int u,v,w;
}e[N];
struct node
{
int to,nxt,w;
}g[N<<];
int head[N],cnt;
int n,m,k,q;
int col[N],w[N],f[N]; int mi[N<<];
I void pushup(int now){mi[now]=min(mi[ls],mi[rs]);} I void bt(int now,int l,int r)
{
mi[now]=inf;
if(l==r)return;
bt(ls,l,smid);bt(rs,smid+,r);
pushup(now);
} I void modify(int now,int l,int r,int pos,int val)
{
if(l==r){mi[now]=val;return;}
if(pos<=smid)modify(ls,l,smid,pos,val);
else modify(rs,smid+,r,pos,val);
pushup(now);
} I bool cmp(EDGE a,EDGE b){return a.w<b.w;} I void add(int u,int v,int w)
{
g[++cnt].nxt=head[u];
g[cnt].to=v;g[cnt].w=w;
head[u]=cnt;
} struct DSU
{
int f[N];
I void init(int x){for(int i=;i<=x;i++)f[i]=i;}
I int getf(int x){return x==f[x]?x:f[x]=getf(f[x]);}
}dsu; I void kruskal()
{
sort(e+,e++m,cmp);
int tot=;cnt=;
dsu.init(n);
for(int i=;i<=m;i++)
{
int u=e[i].u,v=e[i].v,w=e[i].w;
if(dsu.getf(u)!=dsu.getf(v))
{
dsu.f[dsu.getf(u)]=dsu.getf(v);
tot++;add(u,v,w);add(v,u,w);
if(tot==n-)return;
}
}
} map<int,multiset<int> >cls[N];
multiset<pair<int,int> >best[N]; I void dfs(int u,int fa)
{
f[u]=fa;
for(int i=head[u];i;i=g[i].nxt)
{
int v=g[i].to;
if(v==fa)continue;
w[v]=g[i].w;cls[u][col[v]].insert(w[v]);
dfs(v,u);
}
for(itcls it=cls[u].begin();it!=cls[u].end();it++)
best[u].insert(mp(*((it->se).begin()),it->fi));
//真·STL，(it维护的是map的指针，it->se是映射的multiset,it->fi是颜色
if(best[u].empty())return; itset it=best[u].begin();
if((it->se)!=col[u])modify(,,n,u,it->fi);
else
{
it++;if(it==best[u].end())modify(,,n,u,inf);
else modify(,,n,u,it->fi);
}
} int main()
{
n=read();m=read();k=read();q=read();
for(int i=;i<=m;i++)
{
int x=read(),y=read(),z=read();
e[++cnt]=(EDGE){x,y,z};
}
for(int i=;i<=n;i++)col[i]=read();
kruskal();bt(,,n);dfs(,);
while(q--)
{
int u=read(),c2=read();
if(f[u])
{
int c1=col[u];
best[f[u]].erase(best[f[u]].find(mp(*cls[f[u]][c1].begin(),c1)));
cls[f[u]][c1].erase(cls[f[u]][c1].find(w[u]));
if(cls[f[u]][c1].empty())cls[f[u]][c1].insert(inf);
best[f[u]].insert(mp(*cls[f[u]][c1].begin(),c1)); if(!cls[f[u]][c2].empty())
best[f[u]].erase(best[f[u]].find(mp(*cls[f[u]][c2].begin(),c2)));
cls[f[u]][c2].insert(w[u]);
best[f[u]].insert(mp(*cls[f[u]][c2].begin(),c2));
itset it=best[f[u]].begin();
if((it->se)!=col[f[u]])modify(,,n,f[u],it->fi);
else
{
it++;if(it==best[f[u]].end())modify(,,n,f[u],inf);
else modify(,,n,f[u],it->fi);
}
}
if(!best[u].empty())
{
itset it=best[u].begin();
if((it->se)!=c2)modify(,,n,u,it->fi);
else
{
it++;if(it==best[u].end())modify(,,n,u,inf);
else modify(,,n,u,it->fi);
}
}
col[u]=c2;
printf("%d\n",mi[]);
}
}