答:关于Fix的问题你fix了吗?

问:慢着,让我想想,上次留下个什么问题来着?是说我们有了一个求不动点的函数Fix,但Fix却是显式递归的,是吧?

答:有劳你还记的这个问题。

问:Fix的参与背离了匿名递归的定义,所以…所以…我们被Fix给坑了?

答:当然不是。你还记的第(一)章我们讨论过什么吗?

问:记的,我们把一个显式递归的Fact变成了一个匿名递归的结构。

答:很好,让我们再造一次轮子。

问:哦!我明白了,是用与上次类似的方法,把Fix写成一个匿名递归的Lambda。

答:就是这个意思,如此便可用这个Lambda来获得不动点了。那就动手吧,让我们一路与Fact对比:

//C#
//Func3 Fix = f=>f(Fix(x=>f(x)))
//写成函数的形式为:
Func1 Fix(Func2 f) { return (Func1)(f(x =>Fix(f)(x))); }
//对比Fact
int Fact(int x) { return x == 0 ? 1 : x * Fact(x - 1); }
//C#
//为了把自己传给自己构造fix_maker
OuroborosFunc<Func3> fix_maker =
self => f => f(x => self(self)(f)(x));
//对比fact_maker
OuroborosFunc<Func<int, int>> fact_maker =
self => x => x == 0 ? 1 : x * self(self)(x - 1);
//C#
//自我调用产生Fix
Func3 Fix = ((Func<OuroborosFunc<Func3>, Func3>)(s => s(s)))
(self => f => f(x => self(self)(f)(x)));
//对比自我调用产生的Fact
Func<int, int> Fact =
((Func<OuroborosFunc<Func<int, int>>, Func<int, int>>)(s => s(s)))
(self => x => x == 0 ? 1 : x * self(self)(x - 1));

观察最后产生的Fix,发现我们已经摆脱了显式的递归调用,且得到了一个可复用的不动点“生成器”。这里插一句题外话,我之前按照上述思路得到了Fix,后来才发现,原来这就是阿兰•图灵当年发现的Θ组合子(当然,我得到这个组合子要容易得多,因为图灵的年代根本没有计算机,更别说程序语言了)。我相信这两个组合子是完全等价的,下一章我们将以非形式化的方法来理解这一点。

问:那么,是时候揭开Y组合子的面纱了吧。

答:让子弹再飞一会儿。在此之前,“插播”一个小问题:如果递归函数的输入参数不止一个,该怎么办呢?例如用辗转相除法求最大公约数:

//C#
//GCD的显式递归
int GCD(int m, int n) { return n == 0 ? m : GCD(n, m % n); }

问:让我想想…嗯…那就要对之前定义的Y<T,TResult>做一些改变,写成这样:

//C#
class Y<T1, T2, TResult>
{
public delegate TResult Func1(T1 p1, T2 p2);
public delegate Func1 Func2(Func1 f1);
public delegate Func1 Func3(Func2 f2);
... ...
}

然后,对之前的Fix改写成这样:

//C#
Func3 Fix = ((Func<OuroborosFunc<Func3>, Func3>)(s => s(s)))
(self => f => f((x, y) => self(self)(f)(x, y)));

如此便可用这个Fix得到gcd_seed的不动点,即GCD递归函数:

//C#
Y<int, int, int>.Func2 gcd_seed = gcd => (m, n) => n == 0 ? m : gcd(n, m % n);
Console.WriteLine(Y<int, int, int>.Fix(gcd_seed)(24, 15));    //3

答:很好,这是一个方案,但不是一个通用方案。如果有三个输入参数的递归呢?四个呢?…

问:难道还有更好的方法吗?

答:是的,答案就是Currying(柯里化)。所谓柯里化,就是把接受多个参数的函数变换成接受单一参数的函数,并且返回以柯里化的形式接受剩余参数,最终返回结果的一种技术。(注:我是在独立想到解决方案之后,才知道Currying的存在的哦!)

问:这…讲得有点抽象…

答:那就直接上例子吧。在上述最大公约数的例子中,把GCD柯里化成如下形式:

//C#
Func<int, int> GCD(int m) { return n => n == 0 ? m : GCD(n)(m % n); }

即:高阶函数GCD以m为参数,返回一个能与m求最大公约数的函数,这个函数再受一个参数n,便可返回(m,n)的最大公约数。同时,Y<T, TResult>和Fix无需任何改变,即可完成有两个输入参数的递归:

//C#
Y<int, Func<int, int>>.Func2 gcd_seed =
gcd => m => n => n == 0 ? m : gcd(n)(m % n);
Console.WriteLine(Y<int, Func<int, int>>.Fix(gcd_seed)(24)(15)); //3

依此看来,两个参数的Y<T, TResult>就足以满足任何递归的需求了,美哉!

问:然是美哉!

答:就在下章,静候Y组合子的“粉墨登场”。待续…

04-25 19:16