Y组合子

Y组合子的用处

作者：王霄池
链接：https://www.zhihu.com/question/21099081/answer/18830200
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Y组合子的用处是使得 lambda 表达式不需要名字。

如你所说，阶乘函数可以这样定义：

let F = lambda n. n==0 ? 1 : n*(F n-1)

当我们需要调用的时候，我们只需要这样写就可以了：

F 4

但你有没有想过，如果我们没有 let 这个关键字怎么办？没有 let，就不能对一个 lambda 表达式命名。实际上，在 lambda 演算里确实没有 let，换句话说，let 只是个语法糖，让我们写起来更加舒适而已。没有 let，并没有对lambda表达式造成什么实质性的伤害。

数学家们推崇：

是的。所以，你不能对任何lambda表达式命名。这就像你中了一个沉默魔法一样。

我们先来看看如果没有递归，无名 lambda 表达式是如何使用的。
我们来写一个求平方的lambda：

lambda x. x * x

这个lambda是无名的。如果要调用，我们只能这么调用：

( lambda x. x * x ) 3

结果自然是返回 9 了。

看来没有名字，lambda 世界还是可以正常运转的。且慢，我们不要忘记递归。递归函数，似乎真的是个问题——如果没有名字，自身如何调用自身？其实也不是啥大问题。不过，要解决这个问题，我们先假设我们可以使用名字。别担心，这只是前进途中的曲折。最后，我们会去掉名字的，大家先不要着急。

我们以阶乘函数为例，先看看我们现阶段的成果：

let F = lambda n. n==0 ? 1 : n*(F n-1)

首先我们先设法消除掉 lambda 函数体中的函数名称（对不起，一激动就用上了函数这个说法，如果你不知道什么叫函数，那么你就可以理解为函数就是 lambda，二者是等同的）。方法就是将函数作为参数传进去。

let F = lambda f. lambda n. n==0 ? 1 : n*((f f) (n-1))

这个函数的接受一个参数，返回一个函数，这个返回的函数才是真正做计算的阶乘函数。
调用此函数的方法如下：

F F 4

将会返回24。

接下来的一步将是至关重要的。我们现在就抛弃let关键字。我们将F的名字换成F的定义，于是调用阶乘函数的的方式将变成如下的样子：

( lambda f. lambda n. n==0 ? 1 : n*((f f) (n-1)) ) ( lambda f. lambda n. n==0 ? 1 : n*((f f) (n-1)) ) 4

看到了没，这里的所有 lambda 都没有名字，不过，这丝毫没有影响 lambda 表达式的威力。

如果你看到这里，就会发现，我们可以用类似的方法定义所有的递归函数，而用不着Y组合子。是的。你是对的。上面这种方法叫做穷人的Y组合子。但Y组合子的作用就是提供了一个通用的方法来定义递归函数。

让我们来看一下Y的定义：

lambda f. (lambda x. (f(x x)) lambda x. (f(x x)))

要讲清楚Y的来龙去脉，可是非常难（大家可以去看我的博文重新发明 Y 组合子 Python 版）。事实上，连发现它的哈斯卡大神也感慨不已，觉得自己捡了个大便宜，还因此将Y纹在了自己的胳膊上。我现在就只讲Y的用处了。

我们用Y来定义一下递归函数

let F = Y ( lambda f. lambda n. n==0 ? 1 : n*(f n-1) )

大家有没有发现，定义变得比以前的特定方法更加优美了。在之前的特定方法中 f 需要应用于自身，但现在，f 是由 Y 提供的，是一个纯阶乘函数。

不只是定义更加优雅，连调用也像有名字的lambda一样优美了。我们现在就优雅的调用阶乘函数：

F 4

而去掉F的名字，我们有：

( Y ( lambda f. lambda n. n==0 ? 1 : n*(f n-1) ) ) 4

再去掉Y的名字：

( ( lambda f. (lambda x. (f(x x)) lambda x. (f(x x))) )

  ( lambda f. lambda n. n==0 ? 1 : n*(f n-1) )

) 4

看，这里没有任何名字，但我们定义并且调用了阶乘函数。再次强调一下，阶乘函数是个递归函数哦。

任何一阶递归函数都可以用Y来定义，就像我们定义阶乘函数那样：

Y (lambda f. < 真正的函数体，在内部用f指代自身 >)

多说一句，可以在 JavaScript 中实现Y算子，如果用上 CoffeScript 提供的语法糖，将非常优雅（这里我原写错了，感谢

@Liu Martin

)：

Y = (g) ->

  h = (f) ->

    g(n) -> f(f) n

  h h

Y算子真是人见人爱。但除了证明lambda只需要alpha/beta/eta三条规则而不需要命名之外，它主要用自身的优美供大家感叹。在真实的世界中，不论是数学家，还是函数式编程的 coder，都需要给事物命名。

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更新：函数不动点在编程中的应用 http://www.lfcs.inf.ed.ac.uk/reports/97/ECS-LFCS-97-375/ECS-LFCS-97-375.pdf

重新发明 Y 组合子 JavaScript(ES6) 版

来源 http://picasso250.github.io/2015/03/31/reinvent-y.html

2015-03-31

关于Y组合子的来龙去脉，我读过几篇介绍的文章，相比之下，还是王垠大神的著作 最易懂。但他原来所有的语言是scheme，我写一个 JS 版的，来帮助大家理解吧。

我们首先来看看如何实现递归。

lambda演算的语法非常简洁，一言以蔽之：

x | t t | λx.t

其中xx表示变量，t tt t 表示调用， λx.tλx.t 表示函数定义。

首先我们来定义一个阶乘函数，然后调用它。

fact = n => n == 1 ? 1 : n * fact(n-1)

fact(5)

lambda演算中不可以这么简单的定义阶乘函数，是因为它没有 = 赋值符号 。

现在我们看到在lambda定义中，存在fact的名字，如果我们想要无名的调用它，是不行的。如下

(n => n == 1 ? 1 : n * fact(n-1))(5) # there is still `fact` name

我们想要将名字消去，如何消去一个函数的名字呢？

首先，没有名字是无法定义一个递归函数的。

那么，我们不禁要问了，哪里可以对事物命名呢？

对了，将之变为参数，因为参数是可以随意命名的。

fact = (f, n) => n == 1 ? 1 : n * f(f, n-1)

fact(fact, 5)

嗯，很好，看起来不错。不过，要记住在 lambda 演算里面，函数只能有一个参数，所以我们稍微做一下变化。

fact = f => n => n == 1 ? 1 : n * f(f)(n-1)

fact(fact)(5)

你可能会说我在做无用功，别过早下结论，我们只需要将 fact 代入，就得到了完美的匿名函数调用。

(f => n => n == 1 ? 1 : n * f(f)(n-1)) (f => n => n == 1 ? 1 : n * f(f)(n-1)) (5)

看，我们成功了，这一坨代码，是完全可以运行的哦。这个叫做 穷人的Y组合子。可以用，但是不通用，你要针对每个具体函数改造。

于是我们继续改造。我们将把通用的模式提取出来，这个过程叫做 抽象。

首先我们看到了 f(f) 两次， fact(fact) 一次，这种pattern重复了3次，根据 DRY 原则，我们可以这么做

w = f => f(f)

w(fact) (5) # short version

w (f => n => n == 1 ? 1 : n * f(f)(n-1)) (5) # longer version

现在，我们就只有一个重复的模式了，那就是 f(f) 。但是因为它在函数内部（也就是在业务逻辑内部），我们要先把它解耦出来。也就是 factor out。

我们从 f => n => n == 1 ? 1 : n * f(f)(n-1) 开始

f =>

    n => n == 1 ? 1 : n * f(f)(n-1)

我们令 g=f(f) ，然后 可以变成

f =>

    (g => n => n == 1 ? 1 : n * g(n-1)) ( f(f) )

当然， f(f) 在call by value 时会导致栈溢出，所以我们就 ηη 化一下

f =>

    (g => n => n == 1 ? 1 : n * g(n-1)) ( v => f(f)(v) )

我们看到了 g => n => n == 1 ? 1 : n * g(n-1) 这个就是我们梦寐以求的阶乘函数的定义啊。

我们将这个（阶乘函数的定义）提取出来（再一次的factor out），将之命名为 fact0（更接近本质的fact）。上面的可以改写成。

( fact0 => f =>

    fact0 ( v => f(f)(v) )

) ( g => n => n == 1 ? 1 : n * g(n-1) )

不要忘记最初的w，那么如下：

w(

    (fact0 => f => fact0 ( v => f(f)(v) ))

    (g => n => n == 1 ? 1 : n * g(n-1))

)(5)

很自然我们会再一次把阶乘函数的定义factor out出来，当然，fact0 => f => fact0 ( v=>f(f)(v) )中的fact0参数我们也会换成其他的名字，比如 s，而那个fact0的实参，那一大坨更加本质的定义我们也会抽象成一个参数，h

(h =>

    w( (s => f => s ( v => f(f)(v) )) (h))

)

(g => n => n == 1 ? 1 : n * g(n-1)) (5)

好，大功告成，上面的那个括号里面的就是Y了。我们将之单独拿出来看。

(h =>

    w(

        (s => f => s ( v => f(f)(v) )) (h)

    )

)

最中间一行的 h 可以apply一下，也就是化简：

(h =>

    w(

        (f => h ( v => f(f)(v) ))

    )

)

当然, w这个名字也可以去除

(h =>

    (f => h ( v => f(f)(v) ))

    (f => h ( v => f(f)(v) ))

)

这就是最后的结果了。

名调用中，可以这么写：

λf.(λu.u u)(λx.f(x x))λf.(λu.u u)(λx.f(x x))

或者使用更经典的形式

λf.(λx.f(x x))(λx.f(x x))

浅谈Y组合子

来源 http://jjyy.guru/y-combinator

这篇文章希望能够通俗地讲清楚Y组合子，如果对lambda演算感兴趣的同学可以看看最后的相关资料

在lambda中，如果我们想要递归，以斐波那契数列为例，可以这样：

let power = lambda n. IF_Else n==0 1 n*power(n-1)

然而，在“纯”lambda演算中，是没有let关键字的，但我们可以暂时忘记这件事。我们需要换个方法进行递归，如果直接的递归不可行，那么我们可以尝试间接的。很容易能想到通过参数把自己传给自己：

let P = lambda self n. If_Else n==0 1 n*self(self, n-1)

P(P, 3)

如果每次递归都要这么写，就显得很不优雅。我们要想一个办法，能够通用的把自己传给自己。就像上面一样。我们试着构造一下，把斐波那契数列的逻辑替换为任意函数：

let gen = lambda self. AnyFunction(self(self))

gen(gen)

尝试写出斐波那契数列的AnyFunction实现：

let AnyFunction = lambda self n. If_Else n==0 1 n*self(n-1)

经过展开之后，发现任何函数只要在AnyFunction那个位置，经过上面的代码之后，都能够实现递归。

其中gen(gen)展开如下：

gen(gen) => AnyFunction(gen(gen))

可能你会疑问，gen(gen)为什么能够表达自己呢？因为gen(gen)展开为AnyFunction(gen(gen))，它能够返回AnyFunction自身，这就得到自己了。并且这时会把这个gen(gen)再传给AnyFunction。而gen(gen)不求值时是不展开的，因此gen(gen)没有被调用时，没有任何作用，但是一旦AnyFunction内部调用了传进来的gen(gen)，那么就进行求值再次得到“自己”。通俗来讲，与其说gen(gen)是自身，还不如说这是一个把能够得到自己，并且把gen(gen)再次传入的函数。

在理解这个机制之后，通用的递归函数已经到手。封装一下就轻而易举了，这就是传说中的Y组合子：

let Y = lambda f.

	let gen = lambda self. f(self(self))

	gen(gen)

再把let去掉可得到Y的定义：

lambda f. (lambda x. (f(x x)) lambda x. (f(x x)))

接下来可以试着使用一下：

( ( lambda f. (lambda x. (f(x x)) lambda x. (f(x x))) )

  ( lambda f. lambda n. n==0 ? 1 : n*(f n-1) )

) 4

看，完美！证明了lambda只需要alpha/beta/eta三条规则而不需要命名。

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相关资料，从易到难排序

• g9的lambda calculus系列 有很多lambda的入门讲解，幽默风趣
• The Little Schemer 手把手学lambda
• The Seasoned Schemer 手把手2
• SICP 不用多说，看书评
• MIT讲SICP MIT的课，值得一看

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