【BZOJ4709】[Jsoi2011]柠檬

Description

Flute 很喜欢柠檬。它准备了一串用树枝串起来的贝壳，打算用一种魔法把贝壳变成柠檬。贝壳一共有 N (1 ≤ N ≤ 100,000) 只，按顺序串在树枝上。为了方便，我们从左到右给贝壳编号 1..N。每只贝壳的大小不一定相同，贝壳 i 的大小为 si(1 ≤ si ≤10,000)。变柠檬的魔法要求，Flute 每次从树枝一端取下一小段连续的贝壳，并选择一种贝壳的大小 s0。如果这一小段贝壳中大小为 s0 的贝壳有 t 只，那么魔法可以把这一小段贝壳变成 s0t^2 只柠檬。Flute 可以取任意多次贝壳，直到树枝上的贝壳被全部取完。各个小段中，Flute 选择的贝壳大小 s0 可以不同。而最终 Flute 得到的柠檬数，就是所有小段柠檬数的总和。Flute 想知道，它最多能用这一串贝壳变出多少柠檬。请你帮忙解决这个问题。

Input

第 1 行：一个整数，表示 N。

第 2 .. N + 1 行：每行一个整数，第 i + 1 行表示 si。

Output

仅一个整数，表示 Flute 最多能得到的柠檬数。

Sample Input

5
2
2
5
2
3

Sample Output

21
//Flute 先从左端取下 4 只贝壳，它们的大小为 2, 2, 5, 2。选择 s0 = 2，那么这一段里有 3 只大小为 s0 的贝壳，通过魔法可以得到 2×3^2 = 18 只柠檬。再从右端取下最后一只贝壳，通过魔法可以得到 1×3^1 = 3 只柠檬。总共可以得到 18 + 3 = 21 只柠檬。没有比这更优的方案了。

题解：大爷说他从来没做过用单调栈优化的斜率优化，唯一的一道还是他自己出的，不过今天我也算是见过第一道这样的题了。

首先，从两边进行操作可以看成只从一边进行操作，然后我们将原序列反过来再做一遍就行了。

其次，每次施魔法时，区间的左端点和右端点一定都是相同种类的贝壳，这告诉我们应该将每种颜色放到一起处理。然后可以列出DP方程：

$f[i]=max{f[j-1]+(s[i]-s[j]+1)^2*color}$。

其中s[i]表示i这个颜色的前缀和，然后移项

$f[j-1]+(s[j]-1)^2*color=2*s[i]*color*(s[j]-1)+f[i]-s[i]*v[i]$

发现x单调递增，y单调递增，k也单调递增，求的还是上凸包！所以用对于每个颜色都用一个单调栈维护即可。

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <iostream>

#include <vector>

#define y(_) (f[(_)-1]+(s[_]-1)*(s[_]-1)*j)

#define x(_) (s[_]-1)

#define k (2*s[i]*j)

using namespace std;

const int maxn=100010;

typedef long long ll;

int n,m;

ll ans;

int t[maxn],last[maxn],pre[maxn];

ll v[maxn],s[maxn],f[maxn],g[maxn];

vector<int> st[maxn];

inline int rd()

{

	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();

	while(gc<'0'||gc>'9')	{if(gc=='-')	f=-f;	gc=getchar();}

	while(gc>='0'&&gc<='9')	ret=ret*10+gc-'0',gc=getchar();

	return ret*f;

}

int main()

{

	n=rd();

	int i,j;

	for(i=1;i<=n;i++)	v[i]=rd(),pre[i]=last[v[i]],last[v[i]]=i,s[i]=s[pre[i]]+1,m=max(m,(int)v[i]);

	for(i=1;i<=m;i++)	t[i]=-1;

	for(i=1;i<=n;i++)

	{

		j=v[i];

		while(t[j]>0&&(y(i)-y(st[j][t[j]]))*(x(st[j][t[j]])-x(st[j][t[j]-1]))>=(y(st[j][t[j]])-y(st[j][t[j]-1]))*(x(i)-x(st[j][t[j]])))	t[j]--,st[j].erase(st[j].end()-1);

		t[j]++,st[j].push_back(i);

		while(t[j]>0&&(y(st[j][t[j]])-y(st[j][t[j]-1]))<=k*(x(st[j][t[j]])-x(st[j][t[j]-1])))	t[j]--,st[j].erase(st[j].end()-1);

		g[i]=f[i]=f[st[j][t[j]]-1]+(s[i]-s[st[j][t[j]]]+1)*(s[i]-s[st[j][t[j]]]+1)*j;

	}

	for(i=1;(i<<1)<=n;i++)	swap(v[i],v[n-i+1]);

	memset(last,0,sizeof(last));

	for(i=1;i<=n;i++)	pre[i]=last[v[i]],last[v[i]]=i,s[i]=s[pre[i]]+1;

	for(i=1;i<=m;i++)	st[i].clear(),t[i]=-1;

	for(i=1;i<=n;i++)

	{

		j=v[i];

		while(t[j]>0&&(y(i)-y(st[j][t[j]]))*(x(st[j][t[j]])-x(st[j][t[j]-1]))>=(y(st[j][t[j]])-y(st[j][t[j]-1]))*(x(i)-x(st[j][t[j]])))	t[j]--,st[j].erase(st[j].end()-1);

		t[j]++,st[j].push_back(i);

		while(t[j]>0&&(y(st[j][t[j]])-y(st[j][t[j]-1]))<=k*(x(st[j][t[j]])-x(st[j][t[j]-1])))	t[j]--,st[j].erase(st[j].end()-1);

		f[i]=f[st[j][t[j]]-1]+(s[i]-s[st[j][t[j]]]+1)*(s[i]-s[st[j][t[j]]]+1)*j;

	}

	ans=0;

	for(i=0;i<=n;i++)	ans=max(ans,g[i]+f[n-i]);

	printf("%lld",ans);

	return 0;

}

柠檬