这次突然打算写点dimension reduction的东西， 虽然可以从PCA， manifold learning之类的东西开始， 但很难用那些东西说出好玩的东西。 这次选择的是一个不太出名但很有趣的方法， 随机映射。 但某些地方它一直是被当成LSH方法来介绍的， 关于这点我不想过多追究， 这里我认为他是一个降维。
- Problem Statement
首先我们来看一个问题， 如果你手头有一组数据$X \in R^n$， 它的维数太高， 从而不得不进行降维至$R^k$， 你会怎么办？
相信不少人反射性地求它的$x’x$，然后转化为延最大方差展开的问题。 当然这个方法很数学， 也很漂亮， 但它需要求解固有值和固有向量。对于测试用的小数据一切似乎都很好， 但如果我给你的是50G大小csv格式的Twitter发言呢？如果需要对全部单词降维， 恐怕半个月都不用吧。 因此我们需要个更加快速的方法。
那么现在再来想， 既然要快， 那我们就用个最简单的方法： 随机在高维空间里选几个单位向量$e_i$， 但注意， 这里我们仅仅要求是单位向量， 并没有要求它们之间必须正交$<e_i,e_j>=0$， 因此你可以放开手脚随便选。 最后， 我们把高维数据投影到选择的这一组基上。也就完成了降维。
乍一看这个方法似乎很扯， 随便选的轴如何能保证降维效果？ 但它是有数学依据的， 叫做Johnson-Lindenstrauss Lemma。这个定理保证了任何降维方法的精度上下限， 因此， 我们先来看看这个东西。
- Johnson-Lindenstrauss Lemma
假设我们有数据$x \in R^n$， 而我们通过一种方法$f(x)$将其降维成$y \in R^k$， 那么， 将为前后任意两点$a,b$之间的距离有不等式保证：
$(1-\epsilon )\| a-b \| ^2 \le \| f(a)-f(b) \| ^2 \le (1+ \epsilon ) \| a-b \|^2$
当然， 原论文里面还包含了很多其他的东西， 包括$ \epsilon $的值会有一个大致的推断，以及目标维数不能太小等等其他问题。 但这里并不是重点， 我也不太想多说。 对于随机映射来说， 只要注意到下面几点就行了：
- 不定式中的精度仅仅受制于维数、数据大小等因素， 与将为方法无关。
- 在维数差不是很大时， 总可以保证一个相对较高的精度， 不论用什么方法。
到这里一切就很明显了， 既然精度有上界， 那我们也就不必担心轴的选取， 那么最简单的方法自然就是随机挑选了， 这也就产生的Random Projection这一方法。
- Random Projection
前面说了这么多， 相信看到这里也不需要过多解释了。 简单来说， Random Projection流程就是
- 选择影射矩阵$R \in \mathcal{R}^{K \times N}$。
- 用随机数填充影射矩阵。 可以选择uniform或者gaussian。
- 归一化每一个新的轴（影射矩阵中的每一行）。
- 对数据降维$y=R\mathcal{X}$。
上个小节里面的JL-lemma保证的降维的效果不会太差。
既然没有很数学的方法来说明这个方法靠谱， 我们从直观上来看看。
首先假设我们有数据$\mathcal{X}=\{ x | f^{i}(\theta)+\sigma \}$， 其中$\theta$是一组参数， $\sigma$则是高斯噪声。 回想PCA方法， 我们很自然的认为所有的特征都是正交的， 我们既没有考虑它是不是有多个中心， 也没有考虑是不是有特殊结构， 然而对于实际数据， 很多时候并不是这样。 比如我们把取$f(\theta)=S^{i}(\theta _i)N(A, \sigma^i) \in R^3$， 其中$S^{i} \in SO(3)$， 这样我们得到的数据可能会像$\times$或者$*$一样， 显然用PCA并不能得到好的结果。
在这种情况下， 考虑在非常高维度的空间， 可以想象random projection这种撞大运的方法总会选到一些超平面能够接近数据的特征， 同时也能够想象如果目标维数过低， 那么命中的概率就会大大降低。
- 闲话
最后是闲话， 我对这次的博客不满意， 写的很乱， 逻辑不清淅， 本来起笔之前想了不少好玩的东西， 结果最后没能塞进来。 就当成简单的RP的介绍看吧。本身我对这个方法不是很感冒， 只是因为听到有人说有这么一种方法可以快速求解Laplacian Eigenmaps问题， 结果稍微看了一下发现那人是在扯淡。 RP只不过是个简单的降维方法而已， 精度和一般的方法差的还是比较远。 真正的加速Eigenmaps还是得从sparse matrix的特征值分解上来吧。
另外前阵子去了趟美国， 芝加哥-新泽西-纽约三地。 说实话， 作为一个自认为英语完全不行的人， 我不太喜欢美国， 去之前的准备也很消极， ds-160都没认真填， 签证官向我要ps和资金证明， 我也没好气的告诉他没有。 本来心想干脆拒了我， 这样我也能有借口给对面说我去不了。 但没想到最后竟然在起飞前48小时左右批了下来， 既然不能退票， 最后只好匆匆忙忙的准备， 超机场赶。
我买的票的成田机场到芝加哥的， 为了轻便， 只带了一台电脑和一个钱包， 匆匆忙忙坐上jr朝东京赶， 去到恰好赶上broading。
路上是11个小时， 这是我第一次去地球另一侧， 也体验了一把倒时差的感觉。 全日空什么都好， 就是椅子坐不住， 脖子上有一个小突起， 搞得一夜没能睡着， 只能一直看好莱坞和娱乐节目。 一直到第二天早上， 吃早饭的时候我都睁不开眼了。 因为时差， 去到美国也是大白天， 又等了半个小时， 坐上united airlines的飞机匆匆忙忙赶往新泽西。
到了nj， 大中午， 太阳晒得不想动， 于是窝在airtrain铁道下面等着蹭shuttle， 到目的地都下午了。 到附近的店里买了turkey sandwich， 巨大无比， 里面塞了生蔬菜和烤(?)火鸡， 6刀， 膻味浓重， 吃起来挺恶心， 又买了瓶可乐， 2刀， 开电脑发现wifi还要密码， 于是索性睡了。
等醒的时候已经第二天下午了， 先跑到小饭店里吃了个pizza， 16刀（？）， 量特别足， 只可惜味道依然挺恶心， 随后就是漫无目的的闲逛， 我住的地方距离ny倒挺进， 坐火车几十分钟就能到。 美国的火车不怎么人道， 提示非常少， 我买了张nj transit的票， 却完全不知道怎么用， 看到来了个ny station的车， 想上却被拦住了， 列出员告诉我不能上， 要等对面铁轨的车， 当时没搞明白， 后来才知道两个铁轨跑的不是同一家公司的车。
不知为什么ny没有自动检票， 下车之前会有一个五大三粗的哥们查票， 跟中国差不多， 拿个打孔机在票上按几下， 如果在没有检票机的地方下车的话票就被收走了。
从车站出来， 旁边就是madison square garden， 但我印象最深的不是这， 而是扑面而来的拉客大队。 会有各种人举着牌子拉客， 有些事旅游车， 其他的则完全听不懂了。 所谓旅游车类似环线公交， 上面露天， 可以看风景，并且卖的票都是24小时或者72小时一类， 可以中途下车再上。
本来想自己走， 不过中途被一黑人哥们拉住了， 向我介绍他们那车， 问了下30多刀， 坐上去之后才知道， 去的地方非常少， 基本就是市里一周， 这车最大的作用就是从MSG把我弄到了liberty statue， 既然来了美国， 那也就打起精神去看了看自由女神。 沿着街边能看到一排买票的， 怎么看都跟中国的黄牛是一个性质， 最后手痒， 看到一个带着彩色尖刺帽子的黑人兄弟， 买了他的票， 20刀。
在港口排了1个小时的队， 终于到了入口处， 一问才知道官方只卖15刀， 能挣30%， 美国黄牛真好干。
至于船， 没什么特别的地方， 我在日本国内也经常坐船， 显然比这种小游轮好多了。 说是一小时， 除去返航启航最后只有30min， 拿个绿色的像也不过远远的看了几分钟。其他时间海风吹得我想睡觉。
上岸， 又到time square等地方看了看， 四处是人， 很拥挤。 路上顺便买了几十刀的礼物， 出门一查产地， 清一色made in china。
至于芝加哥， 对我来说完全类似。
总之我很失望， 美国不但不像中国美分描述的跟天堂一样， 反而非常平庸， 而所谓的内在美我也没看出来， 自由民主不是美利坚的专利， 想要那些， 世界上有几十个国家都提供。
回到东京已经傍晚， 靠在车窗边上， 看着熟悉的风景， 我觉得我这辈子不会再去美国了。