invariant theory 不变量理论

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invariant theory

一组几何元素由 k个参数组成的向量 P1表示．若 T为某一变换，T∈G ， G为某一变换群，这组几何元素经 T变换后，其参数组成的向量由 P1变为 P2(P1,P2 均为 k维向量)，如果 I(P1)=I(TP1)=I(P2)，则称函数 I(P)为在变换群 G下的不变量。

由定义可见， I(P)为由参数计算出来的标量，可以是实数或复数，而且只要变换T属于同一变换群 G，则I(P)与变换T的具体参数无关。

 

 

不变量的定义

由几何学知道，射影变换保持直线、直线与点的结合性以及直线上点列的交比不变，仿射变换除具有以上不变性还保持了直线的平行性，直线上点列的简比不变。欧氏变换除具有仿射不变性外还保持两条直线的夹角不变，任意两点的距离不变。这些不变量都是由一些几何元素的参数计算出来的量，如由点的坐标计算出两点的距离等。

不变量的数学定义：一组几何元素由

  

个参数组成的向量

  

表示．若

  

为某一变换，

  

，

  

为某一变换群，这组几何元素经

  

变换后，其参数组成的向量由

  

变为

  

(

  

均为

  

维向量)，如果

  

，则称函数

 

为在变换群

  

下的不变量。

由定义可见，

  

为由参数计算出来的标量，可以是实数或复数，而且只要变换

  

属于同一变换群

  

，则

  

与变换

 

的具体参数无关。 [2]