题目描述
小易总是感觉饥饿,所以作为章鱼的小易经常出去寻找贝壳吃。最开始小易在一个初始位置x_0。对于小易所处的当前位置x,他只能通过神秘的力量移动到 4 * x + 3或者8 * x + 7。因为使用神秘力量要耗费太多体力,所以它只能使用神秘力量最多100,000次。贝壳总生长在能被1,000,000,007整除的位置(比如:位置0,位置1,000,000,007,位置2,000,000,014等)。小易需要你帮忙计算最少需要使用多少次神秘力量就能吃到贝壳。
输入描述:
输入一个初始位置x_0,范围在1到1,000,000,006
输出描述:
输出小易最少需要使用神秘力量的次数,如果使用次数使用完还没找到贝壳,则输出-1
示例1
输入
125000000
输出
1
分析:
这道题我们只能把每步都分为两种情况,使用神秘力量1(4 * x + 3)和使用神秘力量2(8 * x + 7)。从出发点开始枚举,使用广度优先遍历算法(BFS)。由于贝壳出现在能被1,000,000,007整除的位置,所以我们只需要考虑%1000000007后的结果。我们要记录初次到达某个位置时使用了几次神秘力量。
第一种方法:
from collections import deque
mod = 1e9+7
n = int(raw_input().strip())
currentPos = n%mod
power = {}
power[currentPos] = 0
d = deque()
d.append(currentPos)
flag = False
while len(d):
currentPos = d.popleft()
if power[currentPos] > 100000:
break
if currentPos == 0:
flag = True
break
nextPos = (4*currentPos+3)%mod
if nextPos not in power:
power[nextPos] = power[currentPos]+1
d.append(nextPos)
nextPos = (8*currentPos+7)%mod
if nextPos not in power:
power[nextPos] = power[currentPos]+1
d.append(nextPos)
if flag:
print(power[currentPos])
else:
print(-1)
第二种方法:
观察变换形式,并做变形:
4x+3=4(x+1)-1
8x+7=8(x+1)-1
如果多层嵌套呢?
y=4x+3
8y+7=8((4(x+1)-1)+1)-1=8(4(x+1))-1=32(x+1)-1
如果你多枚举一些,就会发现,能变换出的数的形式都是:
a(x+1)-1,其中a是2的>=2的幂次数(4、8、16、32、64、……)
我们可以利用这个特点
考虑直接枚举那个a,从2^2一直到……等等,最大是2的多少次?
答:直接考虑最大情况,每次变换都选择8x+7那种,也就是,每次a乘上8,也就是说,最坏是(2^3)^100000=2^300000次
所以,枚举a,从2^2次,一直到2^300000次
然后,对每个a检查一下,乘起来结果%1e9+7是不是0,如果是0,说明100000次之内有解
——问:那最小要执行几次变换?
答:我们直接贪心,尽量让a乘8(乘2次8和乘3次4一样大,当然是乘8越多,变换次数越少)
——问:如果我发现a==2^5或a==2^4的时候满足要求,但是5和4才不能表示成3的倍数,怎么办?
答:别忘了你手上还有4x+3的变换(就是a乘4的变换)
对5这种情况,除以3余2,那刚好,用一次乘4的变换就行了
对4这种情况,除以3余1,我们考虑,消去一个乘8的变换,用2个乘4的变换代替并补足。
n = int(raw_input().strip())
mod = int(1e9+7)
ans = -1
time = 4
for i in range(1,300001):
x = (n*time+time-1)%mod
if x == 0:
ans = (i+1)/3
if (i+1)%3:
ans += 1
break
time = (time*2)%mod
print(ans)
第二种方法要比第一种方法高效一点
参考博客:
http://blog.csdn.net/fcxxzux/article/details/52138964#t0