[问题2014A02] 求下列 \(n\) 阶行列式的值, 其中 \(a_i\neq 0\,(i=1,2,\cdots,n)\):
\[ |A|=\begin{vmatrix} 0 & a_1+a_2 & \cdots & a_1+a_{n-1} & a_1+a_n \\ a_2+a_1 & 0 & \cdots & a_2+a_{n-1} & a_2+a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n-1}+a_1 & a_{n-1}+a_2 & \cdots & 0 & a_{n-1}+a_n \\ a_n+a_1 & a_n+a_2 & \cdots & a_n+a_{n-1} & 0 \end{vmatrix}. \]
注 现阶段请尽量不要用矩阵的降阶公式来做, 建议用升阶法或拆分法来考虑如何化简计算.