Description
传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 \(N\) 的山脉 \(H\)可分 为从左到右的\(N\) 段，每段有一个独一无二的高度 \(H_i\)，其中\(H_i\)是\(1\)到\(N\) 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这\(N\) 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为\(N\) 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉\(A\)和\(B\)不同当且仅当存在一个 \(i\)，使得 \(A_i≠B_i\)。由于这个数目可能很大，你只对它除以\(P\)的余数感兴趣。
Input
仅含一行，两个正整数 \(N\), \(P\)。
Output
仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对\(P\)取余之后的结果。
Sample Input
4 7
Sample Output
3
HINT
对于 \(20\%\)的数据，满足 \(N≤10\)；
对于 \(40\%\)的数据，满足 \(N≤18\)；
对于 \(70\%\)的数据，满足 \(N≤550\)；
对于 \(100\%\)的数据，满足 \(3≤N≤4200，P≤10^9.\)
Solution
- 题面废话很多,就是求长度为\(N\)的波动序列的个数.
- 注意到对于任意一个波动序列\(a\),将其中的每个\(a_i\)变为\(N+1-a_i\),仍是一个波动序列,且由先升后降变为先降后升,或由先降后升变为先升降.
- eg.\(1,3,2,4\)->\(4,2,3,1\).
- 那么我们只需要求出先降后升的序列个数,再乘\(2\)即为答案.
- 考虑令\(f[i]\)表示\(i\)个不同的数组成的先降后升的序列个数.(不同即可,与具体大小无关)
- 计算\(f[i]\)时,考虑枚举最大的数所在的位置\(j\),显然是一个奇数.
- 那么它前面还有\(j-1\)个数,后面还有\(i-j\)个数.
- 我们从剩余的\(i-1\)个数中选出\(j-1\)个数放在前面,剩余的放在后面.
- 有转移方程\(f[i]=\sum_{j=2k+1,k\in N}^{i} C_{i-1}^{j-1}*f[j-1]*f[i-j]\).
- 时间复杂度为\(O(n^2)\).
- 由于\(P\)是读入的,组合数的计算使用递推.但直接开\(n^2\)的数组会\(MLE\),需要滚动数组计算(第一次见到组合数还要滚动数组的).
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
jp=getchar();
if (jp=='-')
{
fh=-1;
jp=getchar();
}
while (jp>='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
int n,P;
inline int add(int a,int b)
{
return (a + b) % P;
}
inline int mul(int a,int b)
{
return 1LL * a * b % P;
}
int fpow(int a,int b)
{
int res=1;
while(b)
{
if(b&1)
res=mul(res,a);
b>>=1;
a=mul(a,a);
}
return res;
}
const int MAXN=4396;
int f[MAXN];
int C[2][MAXN];
int main()
{
n=read(),P=read();
f[0]=1;
int id=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
C[id^1][0]=1;
C[id][0]=1;
for(int j=1;j<=i;++j)
{
C[id][j]=add(C[id^1][j],C[id^1][j-1]);
if(j&1)
f[i]=add(f[i],mul(C[id^1][j-1],mul(f[j-1],f[i-j])));
}
id^=1;
}
int ans=mul(f[n],2);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}