第十四章：主成分和因子分析
本章内容
主成分分析
探索性因子分析
其他潜变量模型
主成分分析（PCA）是一种数据降维技巧，它能将大量相关变量转化为一组很少的不相关变量，这些无关变量称为主成分。探索性因子分析（EFA）是一系列用来发现一组变量的潜在结构的方法。它通过寻找一组更小的、潜在的或隐藏的结构来解释已观测到的、显式的变量间的关系。
PCA与EFA模型间的区别
主成分（PC1和PC2）是观测变量（X1到X5）的线性组合。形成线性组合的权重都是通过最大化各主成分所解释的方差来获得，同时还要保证个主成分间不相关。相反，因子（F1和F2）被当做是观测变量的结构基础或“原因”，而不是它们的线性组合。代表观测变量方差的误差（e1到e5）无法用因子来解释。图中的圆圈表示因子和误差无法直接观测，但是可通过变量间的相互关系推导得到
14.1 R 中的主成分和因子分析
psych包中有用的因子分析函数
principal() | 含多种可选的方差旋转方法的主成分分析 |
fa() | 可用主轴、最小残差、加权最小平方或最大似然法估计的因子分析 |
fa.parallel() | 含平行分析的碎石图 |
factor.plot() | 绘制因子分析或主成分分析的结果 |
fa.diagram() | 绘制因子分析或主成分的载荷矩阵 |
scree() | 因子分析和主成分分析的碎石图 |
最常见的步骤:
(1) 数据预处理。PCA和EFA都根据观测变量间的相关性来推导结果。用户可以输入原始数据矩阵或者相关系数矩阵到principal()和fa()函数中。若输入初始数据，相关系数矩阵将会被自动计算，在计算前请确保数据中没有缺失值。
(2) 选择因子模型。判断是PCA（数据降维）还是EFA（发现潜在结构）更符合你的研究目标。如果选择EFA方法，你还需要选择一种估计因子模型的方法（如最大似然估计）。
(3) 判断要选择的主成分/因子数目。
(4) 选择主成分/因子。
(5) 旋转主成分/因子。
(6) 解释结果。
(7) 计算主成分或因子得分。
14.2 主成分分析
PCA的目标是用一组较少的不相关变量代替大量相关变量，同时尽可能保留初始变量的信息，这些推导所得的变量称为主成分，它们是观测变量的线性组合。如第一主成分为：PC1=a1X1+a2X 2+……+ak Xk它是k个观测变量的加权组合，对初始变量集的方差解释性最大。第二主成分也是初始变量的线性组合，对方差的解释性排第二，同时与第一主成分正交（不相关）。后面每一个主成分都最大化它对方差的解释程度，同时与之前所有的主成分都正交。数据集USJudgeRatings为例，数据框包含43个观测，12个变量。
| 变 量 | 描 述 |
| CONT | 律师与法官的接触次数 |
| INTG | 法官正直程度 |
| DMNR | 风度 |
| DILG | 勤勉度 |
| CFMG | 案例流程管理水平 |
| DECI | 决策效率 |
| PREP | 审理前的准备工作 |
| FAMI | 对法律的熟稔程度 |
| ORAL | 口头裁决的可靠度 |
| WRIT | 书面裁决的可靠度 |
| PHYS | 体能 |
| RTEN | 是否值得保留 |
14.2.1 判断主成分的个数
判断PCA中需要多少个主成分的准则：
根据先验经验和理论知识判断主成分数；
根据要解释变量方差的积累值的阈值来判断需要的主成分数；
通过检查变量间k × k的相关系数矩阵来判断保留的主成分数。
利用fa.parallel()函数，可以同时对三种特征值判别准则进行评价
> fa.parallel(USJudgeRatings[,-1],fa="PC",n.iter=100,
+ show.legend=FALSE,
+ main="Scree plotwith parallel analysis")
评价美国法官评分中要保留的主成分个数。碎石图（直线与x符号）、特征值大于1准则（水平线）和100次模拟的平行分析（虚线）都表明保留一个主成分即可。三种准则表明选择一个主成分即可保留数据集的大部分信息
14.2.2 提取主成分
principal()函数可以根据原始数据矩阵或者相关系数矩阵做主成分分析。格式为：principal（r,nfactors=,rotate=,scores=）
r是相关系数矩阵或原始数据矩阵；
nfactors设定主成分数（默认为1）；
rotate指定旋转的方法[默认最大方差旋转（varimax）
scores设定是否需要计算主成分得分（默认不需要）。
> pc<-principal(USJudgeRatings[,-1],nfactors=1)
> pc
Principal Components Analysis
Call: principal(r = USJudgeRatings[, -1], nfactors = 1)
Standardized loadings (pattern matrix) based upon correlation matrix
PC1 h2 u2
INTG 0.92 0.84 0.1565
DMNR 0.91 0.83 0.1663
DILG 0.97 0.94 0.0613
CFMG 0.96 0.93 0.0720
DECI 0.96 0.92 0.0763
PREP 0.98 0.97 0.0299
FAMI 0.98 0.95 0.0469
ORAL 1.00 0.99 0.0091
WRIT 0.99 0.98 0.0196
PHYS 0.89 0.80 0.2013
RTEN 0.99 0.97 0.0275
PC1
SS loadings 10.13
Proportion Var 0.92
由于PCA只对相关系数矩阵进行分析，在获取主成分前，原始数据将会被自动转换为相关系数矩阵。PC1栏包含了成分载荷，指观测变量与主成分的相关系数。如果提取不止一个主成分，那么还将会有PC2、PC3等栏。成分载荷（component loadings）可用来解释主成分的含义。此处可以看到，第一主成分（PC1）与每个变量都高度相关，也就是说，它是一个可用来进行一般性评价的维度。
h2栏指成分公因子方差——主成分对每个变量的方差解释度。u2栏指成分唯一性——方差无法被主成分解释的比例.如，体能（PHYS）80%的方差都可用第一主成分来解释，20%不能。相比而言，PHYS是用第一主成分表示性最差的变量。SS loadings行包含了与主成分相关联的特征值，指的是与特定主成分相关联的标准化后的方差值（本例中，第一主成分的值为10）。最后，Proportion Var行表示的是每个主成分对整个数据集的解释程度。此处可以看到，第一主成分解释了11个变量92%的方差。
14.2.3 主成分旋转
旋转是一系列将成分载荷阵变得更容易解释的数学方法，它们尽可能地对成分去噪。旋转方
法有两种：使选择的成分保持不相关（正交旋转），和让它们变得相关（斜交旋转）。旋转方法也会依据去噪定义的不同而不同。最流行的正交旋转是方差极大旋转，它试图对载荷阵的列进行去噪，使得每个成分只是由一组有限的变量来解释（即载荷阵每列只有少数几个很大的载荷，其他都是很小的载荷）。
方差极大旋转的主成分分析
>rc<-principal(Harman23.cor$cov,nfactors=2,rotate="varimax")
> rc
Principal Components Analysis
Call: principal(r = Harman23.cor$cov, nfactors = 2, rotate ="varimax")
Standardized loadings (pattern matrix) based upon correlation matrix
RC1 RC2 h2 u2
height 0.90 0.25 0.88 0.123
arm.span 0.93 0.19 0.90 0.097
forearm 0.92 0.16 0.87 0.128
lower.leg 0.90 0.22 0.86 0.139
weight 0.26 0.88 0.85 0.150
bitro.diameter 0.19 0.84 0.74 0.261
chest.girth 0.11 0.84 0.72 0.283
chest.width 0.26 0.75 0.62 0.375
RC1 RC2
SS loadings 3.52 2.92
Proportion Var 0.44 0.37
Cumulative Var 0.44 0.81
观察RC1栏的载荷，你可以发现第一主成分主要由前四个变量来解释（长度变量）。RC2栏的载荷表示第二主成分主要由变量5到变量8来解释（容量变量），两个主成分旋转后的累积方差解释性没有变化（81%），变的只是各个主成分对方差的解释度（成分1从58%变为44%，成分2从22%变为37%）。各成分的方差解释度趋同，准确来说，此时应该称它们为成分而不是主成分（因为单个主成分方差最大化性质没有保留）。
14.2.4 获取主成分得分
从原始数据中获取成分得分
> library(psych)
> pc<-principal(USJudgeRatings[,-1],nfactors=1,score=TRUE)
> head(pc$scores)
PC1
AARONSON,L.H. -0.1857981
ALEXANDER,J.M. 0.7469865
ARMENTANO,A.J. 0.0704772
BERDON,R.I. 1.1358765
BRACKEN,J.J. -2.1586211
BURNS,E.B. 0.7669406
当scores = TRUE时，主成分得分存储在principal()函数返回对象的scores元素中。
还可以获得律师与法官的接触频数与法官评分间的相关系数：
> cor(USJudgeRatings$CONT,pc$score)
PC1
[1,] -0.008815895
律师与法官的熟稔度与律师的评分毫无关联
获取主成分得分的系数
> library(psych)
>rc<-principal(Harman23.cor$cov,nfactors=2,rotate="varimax")
> round(unclass(rc$weights),2)
RC1 RC2
height 0.28 -0.05
arm.span 0.30 -0.08
forearm 0.30 -0.09
lower.leg 0.28 -0.06
weight -0.06 0.33
bitro.diameter -0.08 0.32
chest.girth -0.10 0.34
chest.width -0.04 0.27
主成分得分：
PC1=0.25*height+0.3*arm.span+0.3*forearm+0.29*lower.leg-0.06*weight-0.08*bitro.diameter-0.1*chest.girth-0.04*chest.width
14.3 探索性因子分析
EFA的目标是通过发掘隐藏在数据下的一组较少的、更为基本的无法观测的变量，来解释一组可观测变量的相关性。这些虚拟的、无法观测的变量称作因子。（每个因子被认为可解释多个观测变量间共有的方差，因此准确来说，它们应该称作公共因子。）模型的形式为：
其中Xi是第i个可观测变量（i = 1…k），Fj是公共因子（j = 1…p），并且p<k。Ui是Xi变量独有的部分（无法被公共因子解释）。ai可认为是每个因子对复合而成的可观测变量的贡献值。
> options(digits=2)
> covariances<-ability.cov$cov
> correlations<-cov2cor(covariances)
> correlations
general picture blocks mazereading vocab
general 1.00 0.47 0.55 0.34 0.58 0.51
picture 0.47 1.00 0.57 0.19 0.26 0.24
blocks 0.55 0.57 1.00 0.45 0.35 0.36
maze 0.34 0.19 0.45 1.00 0.18 0.22
reading 0.58 0.26 0.35 0.18 1.00 0.79
vocab 0.51 0.24 0.36 0.22 0.79 1.00
14.3.1 判断需提取的公共因子数
用fa.parallel()函数可判断需提取的因子数：
> library(psych)
> covariances<-ability.cov$cov
> correlations<-cov2cor(covariances)
> fa.parallel(correlations,n.obs=112,fa="both",n.iter=100,
+ main="Screeplots with parrallel analysis")
判断心理学测验需要保留的因子数。图中同时展示了PCA和EFA的结果。PCA结果建议提取一个或者两个成分，EFA建议提取两个因子
14.3.2 提取公共因子
决定提取两个因子，可以使用fa()函数获得相应的结果。fa()函数的格式如下：fa(r,nfactors=,n.obs=,rotate=,scores=,fm=)
r是相关系数矩阵或者原始数据矩阵；
nfactors设定提取的因子数（默认为1）；
n.obs是观测数（输入相关系数矩阵时需要填写）；
rotate设定旋转的方法（默认互变异数最小法）；
scores设定是否计算因子得分（默认不计算）；
fm设定因子化方法（默认极小残差法）。
与PCA不同，提取公共因子的方法很多，包括最大似然法（ml）、主轴迭代法（pa）、加权最小二乘法（wls）、广义加权最小二乘法（gls）和最小残差法（minres）未旋转的主轴迭代因子法:
> fa<-fa(correlations,nfactors=2,rotate="none",fm="pa")
> fa
Factor Analysis using method = pa
Call: fa(r = correlations, nfactors = 2, rotate = "none", fm ="pa")
Standardized loadings (pattern matrix) based upon correlation matrix
PA1 PA2 h2 u2 com
general 0.75 0.07 0.57 0.432 1.0
picture 0.52 0.32 0.38 0.623 1.7
blocks 0.75 0.52 0.83 0.166 1.8
maze 0.39 0.22 0.20 0.798 1.6
reading 0.81 -0.51 0.91 0.089 1.7
vocab 0.73 -0.39 0.69 0.313 1.5 PA1 PA2
SS loadings 2.75 0.83
Proportion Var 0.46 0.14
Cumulative Var 0.46 0.60
两个因子解释了六个心理学测验60%的方差。不过因子载荷阵的意义并不太好解释，此时使用因子旋转将有助于因子的解释。
14.3.3 因子旋转
用正交旋转提取因子
> fa.varimax<-fa(correlations,nfactors=2,rotate="varimax",fm="pa")
> fa.varimax Factor Analysis using method = pa
Call: fa(r = correlations, nfactors = 2, rotate = "varimax", fm= "pa")
Standardized loadings (pattern matrix) based upon correlation matrix
PA1 PA2 h2 u2 com
general 0.49 0.57 0.57 0.432 2.0
picture 0.16 0.59 0.38 0.623 1.1
blocks 0.18 0.89 0.83 0.166 1.1
maze 0.13 0.43 0.20 0.798 1.2
reading 0.93 0.20 0.91 0.089 1.1
vocab 0.80 0.23 0.69 0.313 1.2 PA1 PA2
SS loadings 1.83 1.75
Proportion Var 0.30 0.29
Cumulative Var 0.30 0.60
结果显示因子变得更好解释了。阅读和词汇在第一因子上载荷较大，画图、积木图案和迷宫在第二因子上载荷较大，非语言的普通智力测量在两个因子上载荷较为平均，这表明存在一个语言智力因子和一个非语言智力因子。
用斜交旋转提取因子:
> fa.promax<-fa(correlations,nfactors=2,rotate="promax",fm="pa")
> fa.promax Factor Analysis using method = pa
Call: fa(r = correlations, nfactors = 2, rotate = "promax", fm ="pa")
PA1 PA2 h2 u2 com
general 0.36 0.49 0.57 0.432 1.8
picture -0.04 0.64 0.38 0.623 1.0
blocks -0.12 0.98 0.83 0.166 1.0
maze -0.01 0.45 0.20 0.798 1.0
reading 1.01 -0.11 0.91 0.089 1.0
vocab 0.84 -0.02 0.69 0.313 1.0 PA1 PA2
SS loadings 1.82 1.76
Proportion Var 0.30 0.29
Cumulative Var 0.30 0.60
With factor correlations of
PA1 PA2
PA1 1.00 0.57
PA2 0.57 1.00
根据以上结果，你可以看出正交旋转和斜交旋转的不同之处。对于正交旋转，因子分析的重点在于因子结构矩阵（变量与因子的相关系数），而对于斜交旋转，因子分析会考虑三个矩阵：因子结构矩阵、因子模式矩阵和因子关联矩阵。因子模式矩阵即标准化的回归系数矩阵。它列出了因子预测变量的权重。因子关联矩阵即因子相关系数矩阵。factor.plot()或fa.diagram()函数，你可以绘制正交或者斜交结果的图形。
> fa.diagram(fa.promax,simple=FALSE)
14.3.4 因子得分
EFA并不那么关注计算因子得分。在fa()函数中添加score = TRUE选项（原始数据可得时）便可很轻松地获得因子得分。
> fa.promax$weights
[,1] [,2]
general 0.080 0.210
picture 0.021 0.090
blocks 0.044 0.695
maze 0.027 0.035
reading 0.739 0.044
vocab 0.176 0.039
14.5 小结
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