UVA - 11300 Spreading the Wealth

【题目描述】

圆桌旁边坐着n个人，每个人有一定数量的金币，金币的总数能被n整除。每个人可以给他左右相邻的人一些金币，最终使得每个人的金币数量相等。您的任务是求出被转手的金币的数量的最小值。

【输入格式】

输入包含多组数据。每组数据第一行为一个整数n(n<=1000000)0),以下n行每行为一个整数，按逆时针顺序给出每个人拥有的金币数。输入结束标志为文件结束符(EOF)

【输出格式】

对于每组数据，输出被转手的金币的数量的最小值。输入保证这个值在 64位无符号整数的范围之内。

【Sample】

Input

Output

0

4

【Solution】

这是一道数学题

根据题意

每个人都可以给两边人传递硬币

为了简化问题

我们定向每个人i只能给下一个人x[i]枚硬币

那么我们的答案就是求$|x_1| + |x_2| + ... + |x_n|$的最小值

假设最终每个人分到num枚硬币

那么当前第i个人的情况是

a[i] - x[i] + x[i + 1] = num;

接下来就是推导式子

$x_{i+1} = num - a_i + x_i$

$x_2 = num - a_1 + x_1$

$x_3 = num - a_2 + x_2$

联立上述两个式子得到

$x_2 = x_1 - (a_1 - num)$;

$x_3 = x_2 - (a_1 + a_2 - 2 * num)$

同理我们可以写出$1$ ~ $n$所有的项数

所有的式子相加可以得到

$x_i = x_1 - $ $\sum_{i = 1}^{n - 1} a_j - (n - 1) * m$

由此可见，我们要求得答案只与$x_1$有关

拿一个$tmp_i$表示后面的一大坨$\sum_{i = 1}^{n - 1} a_j - (n - 1) * m$

我们的答案的表达式为

$|x_1| + |x_2| + ... + |x_n| = |x_1| + |x_1 - tmp_2| + |x_1- tmp_3| + ... + |x_1- tmp_n|$

根据这是一道数学题

不难想到

上述等式右边表示$x _ 1$到$tmp_1$~$tmp_n$的距离之和

显然，当$x_1$为集合$ {tmp_n} $的中位数时

该式子取得最小值

代码

#include <iostream>

#include <cstring>

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#define int long long

using namespace std;

inline int read(){

    int x = 0, w = 1;

    char ch = getchar();

    for(; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if(ch == '-') w = -1;

    for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';

    return x * w;

}

const int maxn = 1000010;

int a[maxn], tmp[maxn];

int num, n;

signed main(){

    while(scanf("%lld", &n) != EOF){

        memset(a, 0, sizeof a);

        memset(tmp, 0, sizeof tmp);

        int ans = 0;

        int sum = 0;

        for(int i = 1; i <= n ;i++){

            a[i] = read();

            sum += a[i];

        }

        num = sum / n;

        tmp[1] = 0;

        for(int i = 1; i < n; i++){

            tmp[i + 1] = num - a[i] + tmp[i];

        }

        sort(tmp + 1, tmp + 1 + n);

        int x = tmp[n / 2];

        for(int i = 1; i <= n; i++){

            ans += abs(x - tmp[i]);

        }

        cout << ans << endl;

    }

    return 0;

}

数学题