2020/02/11 upd

更换markdown编辑器,修了一下写错了的式子


 

传送门

暴搞通项公式

蒟蒻想了一上午弄出来个\(O(k^2)\)的算法

这道题比较裸,就是甩给你个递推式让你求第\(n\)项

\[A_1 = 1,A_n = \sum_{i=1}^{n-1} A_i + n^k
\]

那首先我们来手动打个表qwq

\(A_1\)1
\(A_2\)11
\(A_3\)211
\(A_4\)4211
\(A_5\)84211
\(A_6\)1684211

表中第\(i\)行的系数乘上对应列标后的和就是\(A_i\)

于是我们发现了这一显然的规律

\[A_1 = 1,A_n = 2 A_{n-1} + n^k - (n-1)^k
\]

我们就非常优秀的把这个递推式化简了:p

总感觉它有个通项公式什么的吧,我们来胡乱瞎推一波

观察递推式,右式那坨\(n^k - (n-1)^k\)看着就恶心,我们想找个办法把它消掉,使它的形式变成一个等比数列,这样通项公式就容易得到了

显然\(n^k - (n-1)^k\)是一个\(k-1\)次多项式,所以我们构造数列\(U\)和\(k-1\)次多项式\(B\)

\[\begin{aligned}
U_n = A_n + B(n) \\
B(n) = \sum_{i=0}^{k-1} b_i n^i
\end{aligned}
\]

对数列\(U\)的定义式移项得

\[A_n = U_n - B(n)
\]

带回\(A\)的递推式,得

\[\begin{aligned}
U_n - B(n) = 2(U_{n-1} - B(n-1)) + n^k - (n-1)^k \\
U_n = 2U_{n-1} + B(n) - 2B(n-1) + n^k - (n-1)^k
\end{aligned}
\]

我们想让\(U_n=2U_{n-1}\),只需使

\[B(n) - 2B(n-1) + n^k - (n-1)^k = 0
\]

\[- B(n) + 2B(n-1) = n^k - (n-1)^k
\]

现在我们要求解多项式\(B\),试着将多项式的每一项,也就是\(b_i\),都表示出来

先看右式,用二项式定理展开\((n-1)^k\),右式变为

\[\quad n^k - \sum_{i=0}^{k} C_k^i (-1)^{k-i} n^i
\]

提出和式中的\(k\)次项与\(n^k\)消掉

\[= - \sum_{i=0}^{k-1} C_k^i (-1)^{k-i} n^i
\]

再来看左式,将多项式展开得

\[- \sum_{i=0}^{k-1} b_i n^i + 2 \sum_{i=0}^{k-1} b_i (n-1)^i
\]

也用二项式定理展开\((n-1)^i\)

\[= - \sum_{i=0}^{k-1} b_i n^i + 2 \sum_{i=0}^{k-1} b_i \sum_{j=0}^i C_i^j (-1)^{i-j} n^j
\]

转换枚举

\[\begin{aligned}
&= - \sum_{i=0}^{k-1} b_i n^i + 2 \sum_{i=0}^{k-1} \sum_{j=0}^i b_iC_i^j (-1)^{i-j} n^j \\
&= - \sum_{i=0}^{k-1} b_i n^i + 2 \sum_{j=0}^{k-1} \sum_{i=j}^{k-1} b_iC_i^j (-1)^{i-j} n^j \\
&= - \sum_{i=0}^{k-1} b_i n^i + 2 \sum_{i=0}^{k-1} \{ \sum_{j=i}^{k-1} b_j C_j^i (-1)^{j-i} \} n^i
\end{aligned}
\]

(这里大括号只是为了标明系数,没有实际意义)

现在把左右式合在一起写

\[- \sum_{i=0}^{k-1} b_i n^i + 2 \sum_{i=0}^{k-1} \{ \sum_{j=i}^{k-1} b_j C_j^i (-1)^{j-i} \} n^i = - \sum_{i=0}^{k-1} C_k^i (-1)^{k-i} n^i
\]

消掉负号

\[\sum_{i=0}^{k-1} b_i n^i + 2 \sum_{i=0}^{k-1} \{ \sum_{j=i}^{k-1} b_j C_j^i (-1)^{j-i} \} n^i = \sum_{i=0}^{k-1} C_k^i (-1)^{k-i} n^i
\]

所以

\[b_i + 2 \sum_{j=i}^{k-1} b_j C_j^i (-1)^{j-i} = C_k^i (-1)^{k-i}
\]

于是我们非常愉快艰难的得到了\(b_i\)的表示,高斯消元即可得到\(b_i\)。

仔细观察发现这是个上三角矩阵,所以我们可以直接\(O(k^2)\)求解!

于是我们解出了多项式\(B\)。

回过头来看数列\(U\)的定义,\(U_n = A_n + B(n)\)

现在解出了\(B\),我们又知道\(A_1 = 1\),就能知道

\[U_1 = A_1 + B(1) = B(1) +1
\]

于是我们得到了数列\(U\)的完整递推式

\[U_1=B(1) + 1,U_n=2U_{n-1}
\]

现在就容易知道\(U\)的通项公式了,它是

\[U_n = ( B(1) + 1 )2^{n-1}
\]

又因为\(A_n = U_n - B(n)\),\(A\)的通项公式就出来了!

\[A_n = ( B(1) + 1 )2^{n-1} - B(n)
\]

完了

//洛谷P5364 [SNOI2017]礼物
//Author:sun123zxy
#include<iostream>
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#include<cmath>
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#include<algorithm>
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#include<cstdlib>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MOD=1E9+7; ll QPow(ll x,ll up){//快速幂
x%=MOD;
ll ans=1;
while(up){
if(up%2==0){
x=x*x%MOD;
up/=2;
}else{
ans=ans*x%MOD;
up--;
}
}
return ans;
}
ll Inv(ll x){//逆元
return QPow(x,MOD-2);
} const ll MXK=2005;
ll fac[MXK],facInv[MXK];
void FacInit(ll n){
fac[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;//求阶乘
facInv[n]=Inv(fac[n]);
for(ll i=n-1;i>=1;i--) facInv[i]=facInv[i+1]*(i+1)%MOD;//线性求阶乘逆元
facInv[0]=1;
}
ll C(ll n,ll k){//组合数
if(n<k) return 0;
return fac[n]*facInv[n-k]%MOD*facInv[k]%MOD;
} ll N,K;
ll c,B[MXK];//2^(n-1)的系数c和多项式B
ll GetY(ll x){//获取B(x)
x%=MOD;
ll y=0;
ll xPow=1;
for(int i=0;i<=K-1;i++){
y=(y+B[i]*xPow)%MOD;
xPow=xPow*x%MOD;
}
return y;
}
ll mtx[MXK][MXK];
void GetFormula(){
for(ll i=0;i<=K-1;i++) for(ll j=0;j<=K;j++) mtx[i][j]=0;
for(ll i=0;i<=K-1;i++){//初始化方程组
mtx[i][i]=1;
for(ll j=i;j<=K-1;j++){
ll p=-1;if((j-i)%2==0) p=1;
mtx[i][j]+=(-2*C(j,i)%MOD*p+MOD)%MOD;
}
ll p=-1;if((K-i)%2==0) p=1;
mtx[i][K]=(C(K,i)*p+MOD)%MOD;
}
for(ll i=K-1;i>=0;i--){//上三角高斯消元
B[i]=mtx[i][K]*Inv(mtx[i][i])%MOD;
for(ll j=i-1;j>=0;j--){
mtx[j][K]=(mtx[j][K]-B[i]*mtx[j][i]%MOD+MOD)%MOD;
mtx[j][i]=0;
}
}
c=(GetY(1)+1)+MOD%MOD;
}
int main(){
cin>>N>>K;
FacInit(K);
GetFormula();
cout<<(c*QPow(2,N-1)%MOD-GetY(N)+MOD)%MOD;
return 0;
}

和洛谷题解里rqy聚聚的解法似乎有一些关联(

2019/07/01

05-08 15:07