对于仍然不太清楚位操作符的同学们，可以看看这篇文章：位操作符

特别注意

重要技巧

基本的操作我就直接略过了。下面是我认为必须掌握的技巧：（注意，我把一些生僻的技巧都已经砍掉了，留下来的，就是我认为应该会的）

使用 x & 1 == 1 判断奇偶数。（注意，一些编辑器底层会把用%判断奇偶数的代码，自动优化成位运算）
不使用第三个数，交换两个数。x = x ^ y ， y = x ^ y ， x = x ^ y。（早些年喜欢问到，现在如果谁再问，大家会觉得很low）
两个相同的数异或的结果是 0，一个数和 0 异或的结果是它本身。（对于找数这块，异或往往有一些别样的用处。）
x & (x - 1) ，可以将最右边的 1 设置为 0。（这个技巧可以用来检测 2的幂，或者检测一个整数二进制中 1 的个数，又或者别人问你一个数变成另一个数其中改变了多少个bit位，统统都是它）
i+(~i)=-1，i 取反再与 i 相加，相当于把所有二进制位设为1，其十进制结果为-1。
对于int32而言，使用 n >> 31取得 n 的正负号。并且可以通过 (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31) 来得到绝对值。（n为正，n >> 31 的所有位等于0。若n为负数，n >> 31 的所有位等于1，其值等于-1）
使用 (x ^ y) >= 0 来判断符号是否相同。（如果两个数都是正数,则二进制的第一位均为0,x^y=0；如果两个数都是负数,则二进制的第一位均为1；x^y=0 如果两个数符号相反,则二进制的第一位相反,x^y=1。有0的情况例外，^相同得0，不同得1）
“异或”是一个无进位加法，说白了就是把进位砍掉。比如01^01=00。
“与”可以用来获取进位，比如01&01=01，然后再把结果左移一位，就可以获取进位结果。

使用掩码遍历二进制位

这个方法比较直接。我们遍历数字的 32 位。如果某一位是 1 ，将计数器加一。

我们使用位掩码来检查数字的第 \(i^{th}\) 位。一开始，掩码 m=1 因为 1 的二进制表示是

\[0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0001\]
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001

显然，任何数字跟掩码 11 进行逻辑与运算，都可以让我们获得这个数字的最低位。检查下一位时，我们将掩码左移一位。

\[0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0010\]
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010

【算法】位运算技巧-LMLPHP

并重复此过程，我们便可依次遍历所有位。

Java

public int hammingWeight(int n) {
    int bits = 0; // 用来储存 1 的个数

    int mask = 1;  // 掩码，从最低位开始

    for (int i = 0; i < 32; i++) {
        // 注意这里是不等于0，而不是等于1，因为我们的位数是不断在变化的，可能等于2、4、8...
        // 使用按位操作符时要注意，相等（==）与不相等（!=）的优先级在按位运算符之上！！！！
        // 使用按位运算符时，最好加上括号()
        if ((n & mask) != 0) {
            bits++;
        }
        mask <<= 1;
    }
    return bits;
}

无符号右移遍历二进制位

逐位判断
根据与运算定义，设二进制数字 n ，则有：

若 \(n \& 1 = 0\)，则 n 二进制最右一位为 00 ；
若 \(n \& 1 = 1\)，则 n 二进制最右一位为 11 。

根据以上特点，考虑以下循环判断：

判断 n 最右一位是否为 1 ，根据结果计数。
将 n 右移一位（本题要求把数字 n 看作无符号数，因此使用无符号右移操作）。

算法流程：

初始化数量统计变量 res = 0。
循环逐位判断：当 n = 0 时跳出。
res += n & 1 ：若 \(n \& 1 = 1\) ，则统计数 res 加一。
n >>= 1 ：将二进制数字 n 无符号右移一位（ Java 中无符号右移为 ">>>" ）。
返回统计数量 res。

public class Solution {
    public int hammingWeight(int n) {
        int res = 0;
        while(n != 0) {
            res += n & 1;  // 遍历
            n >>>= 1;  // 无符号右移
        }
        return res;
    }
}

反转最后一个 1

对于特定的情况，如只有 1 对我们有用时，我们不需要遍历每一位，我们可以把前面的算法进行优化。

我们不再检查数字的每一个位，而是不断把数字最后一个 1 反转，并把答案加一。当数字变成 0 的时候偶，我们就知道它没有 1 的位了，此时返回答案。

这里关键的想法是对于任意数字 n ，将 n 和 n - 1 做与运算，会把最后一个 1 的位变成 0 。为什么？考虑 n 和 n - 1 的二进制表示。

巧用 \(n \& (n - 1)\)
\((n - 1)\) 解析：二进制数字 n 最右边的 1 变成 0 ，此 1 右边的 0 都变成 1 。
\(n \& (n - 1)\) 解析：二进制数字 n 最右边的 1 变成 0 ，其余不变。
【算法】位运算技巧-LMLPHP

【算法】位运算技巧-LMLPHP
图片 1. 将 n 和 n-1 做与运算会将最低位的 1 变成 0

在二进制表示中，数字 n 中最低位的 1 总是对应 n - 1 中的 0 。因此，将 n 和 n - 1 与运算总是能把 n 中最低位的 1 变成 0 ，并保持其他位不变。

比如下面这两对数：
【算法】位运算技巧-LMLPHP

肯定有人又是看的一脸懵逼，我们拿 11 举个例子：（注意最后一位 1 变成 0 的过程）
【算法】位运算技巧-LMLPHP

使用这个小技巧，代码变得非常简单。

Java

public int hammingWeight(int n) {

    int sum = 0;  // 用来存放 1 的个数

    while (n != 0) {
        sum++;
        n &= (n - 1);
    }
    return sum;
}

Java内置函数：1 的个数

public int hammingWeight(int n) {
    return Integer.bitCount(n);
}

异或相消（异或运算的特性）

我们先来看下异或的数学性质（数学里异或的符号是 \(\oplus\)）：

交换律：\(p \oplus q = q \oplus p\)
结合律：\(p \oplus (q \oplus r) = (p \oplus q) \oplus r\)
恒等率：\(p \oplus 0 = p\)
归零率：\(p \oplus p = 0\)

异或运算有以下三个性质。

任何数和 0 做异或运算，结果仍然是原来的数，即 \(a \oplus 0=a\)。
任何数和其自身做异或运算，结果是 0，即 \(a \oplus a=0\)。
异或运算满足交换律和结合律，即 \(a \oplus b \oplus a=b \oplus a \oplus a=b \oplus (a \oplus a)=b \oplus0=b\)。

假设数组中有 2m+1 个数，其中有 m 个数各出现两次，一个数出现一次。令 \(a_{1}\)、\(a_{2}\)、\(\ldots\)…、\(a_{m}\) 为出现两次的 m 个数，\(a_{m+1}\) 为出现一次的数。根据性质 3，数组中的全部元素的异或运算结果总是可以写成如下形式：

\[(a_{1} \oplus a_{1}) \oplus (a_{2} \oplus a_{2}) \oplus \cdots \oplus (a_{m} \oplus a_{m}) \oplus a_{m+1}\]

根据性质 2 和性质 1，上式可化简和计算得到如下结果：

\[0 \oplus 0 \oplus \cdots \oplus 0 \oplus a_{m+1}=a_{m+1}\]

因此，数组中的全部元素的异或运算结果即为数组中只出现一次的数字。

下面我们来举个例子吧：
假如我们有 [21,21,26] 三个数，是下面这样：
【算法】位运算技巧-LMLPHP

回想一下，之所以能用“异或”，其实我们是完成了一个同一位上有 2 个 1 清零的过程。上面的图看起来可能容易，如果是这样 (下图应为 26^21)：
【算法】位运算技巧-LMLPHP

Java

class Solution {
    public int singleNumber(int[] nums) {
        int single = 0;
        for (int num : nums) {
            single ^= num;
        }
        return single;
    }
}

实例

位1的个数

编写一个函数，输入是一个无符号整数（以二进制串的形式），返回其二进制表达式中数字位数为 '1' 的个数（也被称为汉明重量）。

提示：

请注意，在某些语言（如 Java）中，没有无符号整数类型。在这种情况下，输入和输出都将被指定为有符号整数类型，并且不应影响您的实现，因为无论整数是有符号的还是无符号的，其内部的二进制表示形式都是相同的。
在 Java 中，编译器使用二进制补码记法来表示有符号整数。因此，在上面的示例 3 中，输入表示有符号整数 -3。

进阶：

如果多次调用这个函数，你将如何优化你的算法？

示例 1：

输入：00000000000000000000000000001011
输出：3
解释：输入的二进制串 00000000000000000000000000001011 中，共有三位为 '1'。

示例 2：

输入：00000000000000000000000010000000
输出：1
解释：输入的二进制串 00000000000000000000000010000000 中，共有一位为 '1'。

示例 3：

输入：11111111111111111111111111111101
输出：31
解释：输入的二进制串 11111111111111111111111111111101 中，共有 31 位为 '1'。

提示：
输入必须是长度为 32 的二进制串。

答案

方法 1：循环和位移动

算法

这个方法比较直接。我们遍历数字的 32 位。如果某一位是 1 ，将计数器加一。

我们使用位掩码来检查数字的第 \(i^{th}\) 位。一开始，掩码 m=1 因为 1 的二进制表示是

\[0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0001\]
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001

显然，任何数字跟掩码 11 进行逻辑与运算，都可以让我们获得这个数字的最低位。检查下一位时，我们将掩码左移一位。

\[0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0010\]
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010

并重复此过程。

Java

public int hammingWeight(int n) {
    int bits = 0;
    int mask = 1;
    for (int i = 0; i < 32; i++) {
        if ((n & mask) != 0) {
            bits++;
        }
        mask <<= 1;
    }
    return bits;
}

复杂度分析

时间复杂度：\(O(1)\)。运行时间依赖于数字 n 的位数。由于这题中 n 是一个 32 位数，所以运行时间是 \(O(1)\) 的。
空间复杂度：\(O(1)\)。没有使用额外空间。

逐位判断
根据与运算定义，设二进制数字 n ，则有：

若 \(n \& 1 = 0\)，则 n 二进制最右一位为 00 ；
若 \(n \& 1 = 1\)，则 n 二进制最右一位为 11 。

根据以上特点，考虑以下循环判断：

判断 n 最右一位是否为 1 ，根据结果计数。
将 n 右移一位（本题要求把数字 n 看作无符号数，因此使用无符号右移操作）。

算法流程：

初始化数量统计变量 res = 0。
循环逐位判断：当 n = 0 时跳出。
res += n & 1 ：若 \(n \& 1 = 1\) ，则统计数 res 加一。
n >>= 1 ：将二进制数字 n 无符号右移一位（ Java 中无符号右移为 ">>>" ）。
返回统计数量 res。

public class Solution {
    public int hammingWeight(int n) {
        int res = 0;
        while(n != 0) {
            res += n & 1;  // 遍历
            n >>>= 1;  // 无符号右移
        }
        return res;
    }
}

方法 2：位操作的小技巧

算法

我们可以把前面的算法进行优化。我们不再检查数字的每一个位，而是不断把数字最后一个 1 反转，并把答案加一。当数字变成 0 的时候偶，我们就知道它没有 1 的位了，此时返回答案。

这里关键的想法是对于任意数字 n ，将 n 和 n - 1 做与运算，会把最后一个 1 的位变成 0 。为什么？考虑 n 和 n - 1 的二进制表示。

【算法】位运算技巧-LMLPHP
图片 1. 将 n 和 n-1 做与运算会将最低位的 1 变成 0

在二进制表示中，数字 n 中最低位的 1 总是对应 n - 1 中的 0 。因此，将 n 和 n - 1 与运算总是能把 n 中最低位的 1 变成 0 ，并保持其他位不变。

使用这个小技巧，代码变得非常简单。

Java

public int hammingWeight(int n) {
    int sum = 0;
    while (n != 0) {
        sum++;
        n &= (n - 1);
    }
    return sum;
}

复杂度分析

时间复杂度：\(O(1)\)。运行时间与 n 中位为 1 的有关。在最坏情况下，n 中所有位都是 1 。对于 32 位整数，运行时间是 \(O(1)\) 的。
空间复杂度：\(O(1)\)。没有使用额外空间。

只出现一次的数字

给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。

说明：

你的算法应该具有线性时间复杂度。你可以不使用额外空间来实现吗？

示例 1:

输入: [2,2,1]
输出: 1

示例 2:

输入: [4,1,2,1,2]
输出: 4

答案

方法一：位运算
如果不考虑时间复杂度和空间复杂度的限制，这道题有很多种解法，可能的解法有如下几种。

使用集合存储数字。遍历数组中的每个数字，如果集合中没有该数字，则将该数字加入集合，如果集合中已经有该数字，则将该数字从集合中删除，最后剩下的数字就是只出现一次的数字。
使用哈希表存储每个数字和该数字出现的次数。遍历数组即可得到每个数字出现的次数，并更新哈希表，最后遍历哈希表，得到只出现一次的数字。
使用集合存储数组中出现的所有数字，并计算数组中的元素之和。由于集合保证元素无重复，因此计算集合中的所有元素之和的两倍，即为每个元素出现两次的情况下的元素之和。由于数组中只有一个元素出现一次，其余元素都出现两次，因此用集合中的元素之和的两倍减去数组中的元素之和，剩下的数就是数组中只出现一次的数字。

上述三种解法都需要额外使用 \(O(n)\) 的空间，其中 n 是数组长度。

如何才能做到线性时间复杂度和常数空间复杂度呢？

答案是使用位运算。对于这道题，可使用异或运算 \(\oplus\)。异或运算有以下三个性质。

任何数和 0 做异或运算，结果仍然是原来的数，即 \(a \oplus 0=a\)。
任何数和其自身做异或运算，结果是 0，即 \(a \oplus a=0\)。
异或运算满足交换律和结合律，即 \(a \oplus b \oplus a=b \oplus a \oplus a=b \oplus (a \oplus a)=b \oplus0=b\)。

\[(a_{1} \oplus a_{1}) \oplus (a_{2} \oplus a_{2}) \oplus \cdots \oplus (a_{m} \oplus a_{m}) \oplus a_{m+1}\]

根据性质 2 和性质 1，上式可化简和计算得到如下结果：

\[0 \oplus 0 \oplus \cdots \oplus 0 \oplus a_{m+1}=a_{m+1}\]

因此，数组中的全部元素的异或运算结果即为数组中只出现一次的数字。

Java

class Solution {
    public int singleNumber(int[] nums) {
        int single = 0;
        for (int num : nums) {
            single ^= num;
        }
        return single;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：\(O(n)\)，其中 n 是数组长度。只需要对数组遍历一次。
空间复杂度：\(O(1)\)。

剑指 Offer 56 - II. 数组中数字出现的次数 II

在一个数组 nums 中除一个数字只出现一次之外，其他数字都出现了三次。请找出那个只出现一次的数字。

示例 1：

输入：nums = [3,4,3,3]
输出：4

示例 2：

输入：nums = [9,1,7,9,7,9,7]
输出：1

位运算答案

// 虽然位运算很麻烦，但是我也得试试啊
class Solution {
    public int singleNumber(int[] nums) {

        // 位运算有点麻烦

        // 把所有数的二进制位相加，对每一位取余3，那么剩下来的就是我们需要找的数字了
        int[] counts = new int[32]; // 用来存储答案数字的32位二进制

        // 遍历数组中的所有数，将他们的二进制位相加，存起来
        for(int num : nums) {
            // 从0到31，从低位到高位
            for(int j = 0; j < 32; j++) {
                counts[j] += num & 1;
                num >>>= 1;
            }
        }

        // 从高位开始，把每一位二进制 % 3
        int res = 0;    // 结果答案
        for(int i = 31; i >= 0; i--) {
            // 先移位再加个位，就如 sum += sum * 10 + 个位
            res <<= 1;
            res |= counts[i] % 3;
        }
        return res;

    }
}

哈希表答案

class Solution {
    public int singleNumber(int[] nums) {

        // 位运算有点麻烦

        // 哈希表
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();

        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {

            int count = map.getOrDefault(nums[i], 0) + 1;

            map.put(nums[i], count);
        }

        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {

            int count = map.getOrDefault(nums[i], 0);
            if (count == 1) {
                return nums[i];
            }
        }

        return 0;
    }
}

两数之和

第268题：不使用运算符 + 和 - ，计算两整数 a 、b 之和。
【算法】位运算技巧-LMLPHP

答案

下面这两个技巧大家需要记住，这也是讲解本题的目的：

“异或”是一个无进位加法，说白了就是把进位砍掉。比如01^01=00。
“与”可以用来获取进位，比如01&01=01，然后再把结果左移一位，就可以获取进位结果。

根据上面两个技巧，假设有 12+7：
【算法】位运算技巧-LMLPHP

根据分析，完成题解：

//JAVA
class Solution {
    public int getSum(int a, int b){
        while(b != 0){
            int temp = a ^ b;
            b = (a & b) << 1;
            a = temp;
        }
        return a;
    }
}

剑指 Offer 65. 不用加减乘除做加法

写一个函数，求两个整数之和，要求在函数体内不得使用 “+”、“-”、“*”、“/” 四则运算符号。

示例:

输入: a = 1, b = 1
输出: 2

答案

//JAVA
class Solution {
    public int add(int a, int b) {
        // 该位都为1，&，则进位
        // 异或运算，^，非进位加

        // 我们使用temp来记录进位的位数二进制
        // 每次我们都将 非进位和 与 进位二进制 做非进位加法运算，直到没有进位为止（进位为0）
        while(b != 0) { // 当进位为 0 时跳出
            int temp = (a & b) << 1;  // temp = 进位
            a ^= b; // a = 非进位和
            b = temp; // b = 进位
        }
        return a;
    }
}

Nemo&

【算法】位运算技巧

特别注意

重要技巧

使用掩码遍历二进制位

无符号右移遍历二进制位

反转最后一个 1

Java内置函数：1 的个数

异或相消（异或运算的特性）

实例

位1的个数

答案

方法 1：循环和位移动

方法 2：位操作的小技巧

只出现一次的数字

答案

剑指 Offer 56 - II. 数组中数字出现的次数 II

位运算答案

哈希表答案

两数之和

答案

剑指 Offer 65. 不用加减乘除做加法

答案