样条表示这章已经看完，最后的GLU曲面裁剪函数，打算按书中的示例实现一下，其中遇到了几个问题。
先介绍一下GLU曲面裁剪函数的使用方法。
1 裁剪函数是成对出现的: gluBeginTrim和gluEndTrim。它们必须出现并且可以多对存在于gluBeginSurface和gluEndSurface之间。
2 在裁剪函数中间，可以插入B样条分段线型裁剪曲线gluPwlCurve或者B样条一般裁剪曲线gluNurbsCurve或者是它们的混合。
3 必须要注意的是，每一组裁剪函数中间的裁剪曲线，必须是封闭的，不自交并且不与其他曲线相交的。
gluBeginSurface(surfName);
gluBeginTrim(surfName);
gluPwlCurve(...);
gluNurbsCurve(...);
....
gluEndTrim(surfName);
gluEndSurface(surfName);以下是示例程序：
1 先用GLU画出一个坐标范围是(-1.5, -1.5)到(1.5, 1.5)的B样条曲面（其实是个平面）
2 用一条逆时针裁剪曲线表示裁剪保留区域
3 用一条顺时针的组合封闭分段线型曲线和B样条曲线，标出要裁掉的区域
#include <GLUT/GLUT.h>
#include <iostream> GLsizei winWidht = , winHeight = ; void init (void)
{
glClearColor(1.0, 1.0, 1.0, 0.0); glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluOrtho2D(-, , -, );
} void xyCoords (void)
{
glBegin(GL_LINES);
glColor3f(1.0, 0.0, 0.0); // red x axis
glVertex2i(-, );
glVertex2i(, );
glColor3f(0.0, 1.0, 0.0); // green y aixs
glVertex2i(, -);
glVertex2i(, );
glEnd();
} void errorCallback (void)
{
std::cout << "errorCallback" << std::endl;
} void displayFcn1 (void)
{
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); glColor3f(0.0, 0.0, 1.0); GLfloat ctrlPts [][][] = {
{{-, -, 0.0}, {-, -, 0.0}, {, -, 0.0}, {, -, 0.0}},
{{-, -, 0.0}, {-, -, 0.0}, {, -, 0.0}, {, -, 0.0}},
{{-, , 0.0}, {-, , 0.0}, {, , 0.0}, {, , 0.0}},
{{-, , 0.0}, {-, , 0.0}, {, , 0.0}, {, , 0.0}}
}; GLUnurbsObj *bezSurface;
GLfloat outerTrimPts [][] = {{0.0, 0.0}, {1.0, 0.0}, {1.0, 1.0}, {0.0, 1.0}, {0.0, 0.0}};
GLfloat innerTrimPts1 [][] = {{0.5, 0.25}, {0.01, 0.02}, {0.2, 0.75}};
GLfloat innerTrimPts2 [][] = {{0.2, 0.75}, {0.5, 0.99}, {0.75, 0.5}, {0.5, 0.25}};
GLfloat surfKnots [] = {0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0};
GLfloat trimCurveKnots [] = {0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0};
bezSurface = gluNewNurbsRenderer();
gluNurbsCallback(bezSurface, GLU_NURBS_ERROR, errorCallback); gluBeginSurface(bezSurface);
// gluNurbsProperty(bezSurface, GLU_DISPLAY_MODE, GLU_OUTLINE_POLYGON); // 线框图划分三角形
// gluNurbsProperty(bezSurface, GLU_NURBS_MODE, GLU_NURBS_TESSELLATOR); // ???? 细分 不好用 // ???? 注意 sStride和tStride的顺序，如果颠倒了，对于后面的裁剪坐标，也是颠倒的
gluNurbsSurface(bezSurface, , surfKnots, , surfKnots, , , &ctrlPts[][][], , , GL_MAP2_VERTEX_3); // ???? 必须先提供一个单位正方形的逆时针区域，是确保所有的图案都能正常显示
// http://csweb.cs.wfu.edu/~torgerse/Kokua/Irix_6.5.21_doc_cd/usr/share/Insight/library/SGI_bookshelves/SGI_Developer/books/OpenGL_PG/sgi_html/ch13.html
// counterclockwise around the entire unit square of parametric space. This ensures that everything is drawn, provided it isn't removed by a clockwise trimming curve inside of it.
gluBeginTrim(bezSurface);
gluPwlCurve(bezSurface, , &outerTrimPts[][], , GLU_MAP1_TRIM_2);
gluEndTrim(bezSurface); // 注意 1 裁剪曲线的坐标设置，必须按照顺时针，最后必须封闭
// ???? 注意 2 根据逆时针的坐标范围，整个裁剪区域被看做(0,0)到(1,1)的一个区域，裁剪曲线的坐标必须在0-1之间，并且不能等于0和1，否则会将所有区域都裁减掉
gluBeginTrim(bezSurface);
gluNurbsCurve(bezSurface, , trimCurveKnots, , &innerTrimPts2[][], , GLU_MAP1_TRIM_2);
gluPwlCurve(bezSurface, , &innerTrimPts1[][], , GLU_MAP1_TRIM_2);
gluEndTrim(bezSurface); gluEndSurface(bezSurface); xyCoords(); glFlush();
} void winReshapeFcn (GLint newWidth, GLint newHeight)
{
glViewport(, , newWidth, newHeight);
} int main(int argc, char * argv[])
{
glutInit(&argc, argv);
glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);
glutInitWindowSize(winWidht, winHeight);
glutInitWindowPosition(, );
glutCreateWindow("OpenGL Bézier Curve Surface"); init();
glutDisplayFunc(displayFcn1);
glutReshapeFunc(winReshapeFcn);
glutMainLoop(); return ;
}
图0
其中，遇到的几个问题是：
1 逆时针裁剪曲线，我尝试过非矩形的情况，也尝试了范围不是(0,0)到(1,1)的范围，但最终的效果是：(0,0)到(1,1)的单位逆时针曲线就可以保留整个曲面，即使整个逆时针裁剪曲线再大，也只是全部显示曲面。当整个逆时针裁剪曲线小于(0,0)到(1,1)的区间时，才能裁剪保留曲面的一部分。
“counterclockwise around the entire unit square of parametric space. This ensures that everything is drawn, provided it isn't removed by a clockwise trimming curve inside of it.”
例如：曲面是(-1.5,-1.5)到(1.5,1.5)的3*3曲面，如果将第一个逆时针裁剪曲线规划为1*1的单位矩形，那么3*3的曲面将全部保留；假如将第一个裁剪曲线的坐标设置为: (0.2,0.0) (0.8,0.0) (1.0, 1.0) (0.0,1.0) (0.2, 0.0)即为一个倒梯形，那么保留下来的曲面将是区域(-0.9, -1.5) (0.9, -1.5) (1.5, 1.5) (-1.5, 1.5)这样的倒梯形。
图1
2 这时再添加顺时针裁剪曲线时，可用的坐标范围即是前面逆时针规定的范围，但不能超过或者等于边界坐标。一旦顺时针裁剪坐标点与逆时针的裁剪曲线边界重合，则会返回error。并且整个曲面都无法正确显示。
图2
3 如果添加顺时针裁剪曲线，之前必须要逆时针的裁剪区域，否则也会报错。
4 gluNurbsSurface函数，其中注意sStride和tStride的顺序。如果sStride=3，tStride=12，即为u方向连续控制点的坐标以行来读取ctrlPts内容，v方向连续控制点的坐标以列方向为读取方向。即u方向是对应裁剪区域的x轴，而v方向对应裁剪区域的y轴（不很确定是不是这个理解）。那么之后的裁剪坐标的第一个值与sStride方向的坐标对应，而第二个值与tStride方向的坐标对应。加入替换了tStride和sStride的值，那么裁剪掉的内容与原内容是相对轴y=x是对称的。
extern void gluNurbsSurface (GLUnurbs* nurb, GLint sKnotCount, GLfloat* sKnots, GLint tKnotCount, GLfloat* tKnots, GLint sStride, GLint tStride, GLfloat* control, GLint sOrder, GLint tOrder, GLenum type) OPENGL_DEPRECATED(10_0, 10_9);
图3 sStride = 12, tStride = 3的才见情况
感觉很多内容理解的不是很透彻，样条曲线这章花了很多时间看，但还是一知半解。在这里列出本章还未解决的几个问题：
1 相邻曲线段的一阶几何连续性，表示一阶导数在两条相邻曲线段的交点处成比例，但不一定相等。这个比例是谁与谁的比例？
2 样条曲线可用于模拟动画路径，相机路径等，是用按代码实现的曲线路径做运动效率高还是美术在Unity中做好的animation效率更高？
3 周期性三次B样条在四个连续控制点上的边界条件P(0) = 1/6(p + 4p + p), P(1) = 1/6(p + 4p +p), P'(0) = 1/2(p-p), P'(1) = 1/2(p-p)是如何得到的？
4 样条表示之间的转换： P(u) = U•M•M = U•Mspline2•M = U•M•(M•M)•M，M = M•M。书上说这个M是从第一个样条表达式转变到第二个表达式的变换矩阵，即M= M•M，这难道不是第二个样条表达式转变到第一个表达式的变换矩阵吗？
5 递归样条细分方法：取中间点切开原三次Bézier曲线（控制点是p, p, p, p），左右两段分别构造Bézier样条，获取新控制点的坐标，结果是：p = p, p = 1/2(p + p), p = 1/4(p+2p+p), p = 1/8(p+3p+3p+p)。 在假设：3(p-p) = 1/2(P'(0)) = 1/2•3(p-p)的情况下可以推导出上述坐标，但这个假设为什么成立？是Bézier样条曲线的性质决定的吗？