第一类Stirling数
首先设
$$S_k(n)=\sum_{i=0}^ni^k$$
根据第一类斯特林数的定义（P是排列数，C是组合数,s是Stirling）
$$C_n^k={P_n^k\over k!}={\sum_{i=0}^k(-1)^{i+k}s(k,i)n^i\over k!}$$
变形得
$$ n^k ={\sum_{i=0}^{k-1}(-1)^{i+k}s(k,i)n^i}-k! C_n^k$$
$n$ 从1取到n累加，
$$S_k(n)=\sum_{j=0}^n(k!C_j^k-\sum_{i=0}^{k-1}(-1)^{i+k}s(k,i)j^i)$$
拆括号
$$=k!\sum_{j=0}^nC_j^k-\sum_{i=0}^{k-1}(-1)^{i+k}s(k,i)\sum_{j=0}^nj^i$$
因为 $ C_{m+1}^{n+1}=C_m^n+C_{m}^{n+1} $，可推出 $\sum_{i=0}^nC_i^k=C_{n+1}^{k+1}$，
在转换为用排列数的
$$S_n(k)={P_{n+1}^{k+1}\over k+1}-\sum_{i=0}^{k-1}(-1)^{i+k}s(k,i)S_i(n)$$
那么我们只需要用 $O(k^2)$ 地预处理出第一类斯特林数，然后按k来递推了，边界是 $S_1(n)=n(n+1)/2$
主要运用了第一类斯特林数与排列式P的关系。
优点是可以避开除法，不用考虑模数有没有逆元，排列数的形式一定可以整除（$k+1$ 个连续值相乘，其中肯定有 $k+1$ 的倍数）
//单次查询是 $O(k^2)$，多组测试就gg了，不知道有什么好的实现方法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + ;
const int maxk = + ;
ll n, k; ll stir[maxk][maxk];
void init()
{
stir[][] = stir[][] = ;
for(int i = ;i < maxk;i++)
for(int j = ;j <= i;j++)
stir[i][j] = (stir[i-][j-] + (i-)*stir[i-][j]) % mod;
} ll S[maxk]; //S[i]表示前n项的i次方之和
ll cal()
{
n %= mod;
S[] = (n+) * n / % mod; //假设 k>=1
for(int i = ;i <= k;i++)
{
//计算前面一坨
ll prod;
if(i > n) prod = ;
else
{
ll kk = i+;
prod = ;
for(ll j = ;j <= i;j++)
{
ll tmp = n+-j;
if(tmp % (i+) == ) prod = prod * (tmp/(i+)) % mod;
else prod = prod * tmp % mod;
}
} ll tmp = , sig;
for(int j = ;j < i;j++)
{
sig = (j+i)& ? - : ;
tmp = (tmp + sig*stir[i][j]*S[j]%mod + mod) % mod;
}
S[i] = ((prod - tmp)%mod + mod) % mod;
}
return S[k];
} int main()
{
init(); int T;
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld", &n, &k);
printf("%lld\n", cal());
} return ;
}
第二类Stirling数
首先需要证明一个式子
$$i^k = \sum_{j=1}^kS(k, j)*C_i^j*j!$$
证：对于一个 $i^k$，可以具体理解为把 $k$ 个不同的球放入 $i$ 个不同盒子里的方案数（允许空盒）；
现在，枚举恰好有 $j$ 个盒子放有球，$j$ 可从1取到 $k$，所以方案数为 $\sum_{j=1}^kS(k, j)*C_i^j*j!$；
证毕。
$\sum \limits ^{n}_{i=0} i^k = \sum \limits _{i=0}^{n}\sum\limits _{j=1}^{k} S_{k,j}*C_{i,j}*j!$
然后讨论 $S(k, j)$ 的系数和：$\sum \limits ^{n}_{i=0} C_{i,j} *j!$，即 $j!* \sum\limits^{n}_{i=0} C_{i,j}$
已知：$\sum \limits_{i=0}^{n}C_{i,j}=C_{n+1,j+1}$
所以 $S(k, j)$ 的系数为 $j!*C_{n+1}^{j+1}$，
于是 $\sum \limits ^{n}_{i=0} i^k= \sum\limits_{j=1}^{k}S(k, j)*j!*C_{n+1}^{j+1}$.
变成排列数形式：$\displaystyle \sum \limits ^{n}_{i=0} i^k= \sum\limits_{i=1}^{k}S(k, i)* \frac{P_{n+1}^{i+1}}{{i+1}}$
然后预处理斯特林数就可以解决了.
//同样单次查询是 $O(k^2)$
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + ;
const int maxk = + ;
ll n, k; ll stir[maxk][maxk];
void init()
{
stir[][] = stir[][] = ;
for(int i = ;i < maxk;i++)
for(int j = ;j <= i;j++)
stir[i][j] = (stir[i-][j-] + j*stir[i-][j]) % mod;
} ll cal()
{
n %= mod;
ll sum = ;
for(int i = ;i <= k;i++)
{
ll prod;
if(i > n) prod = ;
else
{
prod = ;
for(int j = ;j <= i;j++)
{
ll tmp = n+-j;
if(tmp % (i+) == ) tmp /= (i+);
prod = prod * tmp % mod;
}
}
//printf("%lld\n", prod);
sum = (sum + stir[k][i]*prod) % mod;
}
return sum;
} int main()
{
init(); int T;
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld", &n, &k);
printf("%lld\n", cal());
} return ;
}
参考链接：