一 前言

1.概述

    主要概述了点乘,叉乘的实用例子,没有讲述什么原理性的,偏向应用层。点乘叉乘数学原理性的东西比较“难记”,网上很多。实用举例,网上算是比较少吧。故,来总结一番。

2.可以解决的问题

    I.如何计算角度

    II.如何判断前后

    III.如何判断逆时针还是顺时针。

    IV.如何判断其他物体在目标物体左右。

    V.如何计算平行四边形面积

二 理论知识

1.点乘性质

       a · b = |a|*|b| cosθ

        a ·b = b·a

        结果是float类型

2.叉乘性质

         aXb = c,c⊥a,c⊥b。

         |aXb| = |a| |b| sinθ,

       a X b = -b X a

       叉乘的结果还是向量,且其模就是那两个向量为边的平行四边形面积

3.性质总结

      根据点乘,叉乘的公式得知,用到cos函数和sin函数,所以理解cos函数和sin函数很重要。

复习一下,我推荐使用根据函数图像理解。

  点乘,cos函数

      Unity 点乘&叉乘 应用实例-LMLPHP

  叉乘,sin函数

      Unity 点乘&叉乘 应用实例-LMLPHP

三.分析&理解

     当然,这边计算角度,直接可以用Vector.Angle(p1,p2) 就可以解决,但是返回角度范围为(0,180)。

  我们根据上述点乘叉乘,可以得出,点乘,叉乘都可以算出角度。

1.点乘 计算角度

           首先我们根据公式   a · b = |a|*|b| cosθ,θ∈(0,180) 

      I.在知道a,b均为单位向量的情况,则 cosθ = Mathf.Dot(a,b)这里的θ角度跟Vector.Angle的返回的结果是一致的(0,180),则cosθ最终返回的也只是 (-1,1)之间.

      II.继续得出 θ =arcCos(Mathf.Dot(a,b)) ---------注意这个θ是弧度值,弧度制就类似π/2, 90度。

      III.我们的目的是得出角度,则 angle = θ * Mathf.Rad2Deg     ----------注意:Mathf.Rad2Deg即为 180/π,与之相乘则弧度转角度;  注意区分Mathf.Deg2Rad 为π/180,角度转弧度,Deg即Degree,角度的意思。      

      float cosAngle = Vector3.Dot(p1.normalized, p2.normalized);
float angleDot = Mathf.Acos(cosAngle)*Mathf.Rad2Deg;
float angleVector = Vector3.Angle(p1, p2); Debug.Log("angleDot:" + angleDot);
Debug.Log("angleVector:" + angleVector);

      由上述对比,完全与Vector.Angle一致,结果都是0,180范围。

2.点乘计算背向还是面向   

    根据上述1中结果,可以使用其判断是面向还是背向,点乘结果>0, θ∈0,,90)则面向;

点乘结果<0,θ∈90,180,则背向。

3.叉乘计算角度

    我们根据公式 |aXb| = |a|*|b|*sin<θ>

     I.当然,我们只需要计算角度,还是需要转为单位向量计算最为方便,得出|aXb| = sin<θ>

     II.则得出,θ = ARCSin(|aXb|), (Mathf.Magnitude,这是求向量长度)

     III.因为上述得出的是弧度制,依然 则 angle = Mathf.arcSin(|aXb|) *Mathf.Rad2Deg      

      Vector3 corssResult = Vector3.Cross(p1.normalized, p2.normalized);
    float angleCross = Mathf.Asin(Vector3.Magnitude(corssResult)) * Mathf.Rad2Deg;
    Debug.Log("angleCross:" + angleCross);
    Debug.Log("angleVector:" + angleVector);

由上述对比得出angleCross 范围在(0,90),即两个向量间的延伸交叉最小的夹角,这个真的有点出乎意料,需要自己注意一下。

这个应用啥呐,应用“两个向量不考虑方向的情况之间谁更紧密”吧。

4.如何判断逆时针还是顺时针

  (因为根据1 点乘中得出的角度,范围都只是0,180,并还不能清楚知道两个向量的具体方位,所以还缺个顺时针还是逆时针。)

   我们可以根据叉乘的性质 a X b  = - b X a ,可以根据叉乘的正负值,来判断a,b的相对位置,即b是出于a的顺时针还是逆时针。

这里需要注意“叉乘的正负值”:注意顺时针,逆时针的概念,是在2d空间中判断,所以需要指定两个维度,一般在x,y屏幕上,则判断z轴上的正负,即为“叉乘的正负值”。   

        Vector3 resultCross = Vector3.Cross(p1, p2);
//在指定x,y平面则判断z轴正负,为正,则p2在p1顺时针,为负,则p2在p1逆时针。
Debug.Log("p1:"+p1+" p2:"+p2 +"resultCross.z:" + resultCross.z);

5.如何判断物体在左边还是右边

  其实判断在左边还是在右边,理论与4相似,只是需要稍微加工一下。假设p1为目标点,p2判断是在p1的左边还是右边。

见图:

    Unity 点乘&amp;叉乘 应用实例-LMLPHP

         //因为我们是在xy平面上,所以判断z轴
var crossResult = Vector3.Cross(Vector3.up,p2-p1).z;
//Vector3.Cross(trans1.up, trans2.position - trans1.position).z; //transform的写法
Debug.Log("crossResult:" + crossResult);

crossResult 为正则在其左边,为负则在其右边。也4中顺时针,逆时针一个道理,只不过对比的是物体的正前方的向量。

注意如果为0,则是物体正前方,或者正后方;判断正后方还是正前方参考2中用法。

6.如何计算出两向量组成的平行四边形面积

    根据平行四边形公式  S=a*h,h为高,a为底。

    a = |p1|

    又因为h = |p2|*sinθ,则 a* h = |p1|*|p2|*sinθ

    即 |p1Xp2| = S

       float s = Vector3.Magnitude(resultCross);   

7.光照强度应用

    通过对任意平面的任意两个向量进行插乘,得到该平面的法向量。然后通过光照向量和法向量进行点乘,计算出光照强度。

光照强度:光向量与平面越垂直就所受光照强度越大,即法向量与光照向量重合。反之如果光照向量与平面平行,则该面所有那个光的强度越弱。

(注意叉乘计算出的法向量方向根据右手定则)

四 总结

    上述基本涵盖了游戏中的点乘叉乘的所有用法,都是自己敲一遍论证后的结果,当然,还需要你自己敲一遍,如有讲述错误,欢迎指正。

哎,这是2018年唯一一篇比较原创花心思的博客,不能这样啦,博客要坚持写,代码要亲自敲啊。

05-07 10:22