题意
策策同学特别喜欢逛公园。公园可以看成一张\(N\)个点\(M\)条边构成的有向图，且没有 自环和重边。其中1号点是公园的入口，\(N\)号点是公园的出口，每条边有一个非负权值， 代表策策经过这条边所要花的时间。
策策每天都会去逛公园，他总是从\(1\)号点进去，从\(N\)号点出来。
策策喜欢新鲜的事物，它不希望有两天逛公园的路线完全一样，同时策策还是一个 特别热爱学习的好孩子，它不希望每天在逛公园这件事上花费太多的时间。如果\(1\)号点 到\(N\)号点的最短路长为\(d\)，那么策策只会喜欢长度不超过\(d+K\)的路线。
策策同学想知道总共有多少条满足条件的路线，你能帮帮它吗？
为避免输出过大，答案对\(P\)取模。
如果有无穷多条合法的路线，请输出\(-1\)。
\(N \leq 100000,M \leq 200000,K \leq 50\)
分析
考虑dp。用\(f(x,lim)\)表示从x到n的路径长不超过dis(x,n)+lim的路径条数。
求出最短路后，就可以dfs求解，为了处理环的情况传进两个参数x和lim。
反向建图跑最短路可以优秀卡常，并且若跑完最短路后距离仍为INF就可以剪枝。
然后是无解的情况，如果有0环则有无数解。方法是SPFA或者dfs记录状态，若从某状态再次搜到相同的状态则肯定有0环。SPFA可能被卡，所以采用Dijkstra+dfs判0环的方法。
时间复杂度\(O(K M)\)
代码
dfs
中规中矩的记忆化搜索，是绝对的首选。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cassert>
#include<stack>
#include<vector>
template<class T>T read(T&x)
{
T data=0;
int w=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))
{
if(ch=='-')
w=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
data=data*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
return x=data*w;
}
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=1e5+7,MAXM=2e5+7,MAXK=60;
int n,m,k,mod;
vector <pii> g1[MAXN],g2[MAXN];
void init()
{
read(n);read(m);read(k);read(mod);
for(int i=1;i<=n;++i)
{
g1[i].clear();
g2[i].clear();
}
for(int i=1;i<=m;++i)
{
int x,y,w;
read(x);read(y);read(w);
g1[x].push_back(pii(y,w));
g2[y].push_back(pii(x,w));
}
}
int dis[MAXN];
void Dijkstra(int s)
{
fill(dis+1,dis+n+1,INF);
dis[s]=0;
priority_queue <pii> H;
H.push(pii(-dis[s],s));
while(H.size())
{
int x=H.top().second,d=-H.top().first;
H.pop();
if(d>dis[x])
continue;
for(int i=0;i<g2[x].size();++i)
{
int y=g2[x][i].first,w=g2[x][i].second;
if(dis[y]>dis[x]+w)
{
dis[y]=dis[x]+w;
H.push(pii(-dis[y],y));
}
}
}
}
int add(int x,int y)
{
x+=y;
return x>=mod?x-mod:x;
}
bool vis[MAXN][MAXK];
bool ins[MAXN][MAXK];
int f[MAXN][MAXK];
int dfs(int x,int lim)
{
// cerr<<"dfs "<<x<<" "<<lim<<endl;
if(vis[x][lim])
return f[x][lim];
if(ins[x][lim])
return -1;
ins[x][lim]=1;
int&ans=f[x][lim]=(x==n);
for(int i=0;i<g1[x].size();++i)
{
int y=g1[x][i].first,w=g1[x][i].second;
if(dis[y]==INF)
continue;
int delta=dis[y]+w-dis[x];
if(delta>lim)
continue;
int t=dfs(y,lim-delta);
if(t==-1)
return -1;
ans=add(ans,t);
}
vis[x][lim]=1;
ins[x][lim]=0;
return ans;
}
int main()
{
freopen("park.in","r",stdin);
freopen("park.out","w",stdout);
// freopen("park.err","w",stderr);
int T;
read(T);
while(T--)
{
init();
Dijkstra(n);
// cerr<<"dis="<<endl;
// for(int i=1;i<=n;++i)
// cerr<<i<<" d="<<dis[i]<<endl;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
fill(vis[i],vis[i]+k+1,0);
fill(ins[i],ins[i]+k+1,0);
}
printf("%d\n",dfs(1,k));
}
return 0;
}
SPFA
要是用SPFA就要有信仰了，不可能入队n次才判0环，不然肯定TLE。
于是我逐渐去试，发现如果设成10会WA，设成11刚好能AC。出题人根本就没造网格图，但考试的时候谁又知道呢？
然后就跑得飞快。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
template<class T>T read(T&x)
{
T data=0;
int w=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))
{
if(ch=='-')
w=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
data=data*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
return x=data*w;
}
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=1e5+7,MAXM=2e5+7,MAXK=60;
int n,m,k,mod;
struct edge // g2
{
int nx,to,w;
}e[MAXM];
int head[MAXN],ecnt;
vector <pii> g[MAXN]; // g1
void addedge(int x,int y,int w)
{
e[++ecnt].to=y,e[ecnt].w=w;
e[ecnt].nx=head[x],head[x]=ecnt;
}
void init()
{
read(n);read(m);read(k);read(mod);
ecnt=0;
fill(head+1,head+n+1,0);
for(int i=1;i<=n;++i)
g[i].clear();
for(int i=1;i<=m;++i)
{
int x,y,w;
read(x);read(y);read(w);
addedge(y,x,w);
g[x].push_back(pii(y,w));
}
}
bool inq[MAXN];
int cnt[MAXN];
int dis[MAXN];
bool SPFA(int s)
{
fill(inq+1,inq+n+1,0);
fill(cnt+1,cnt+n+1,0);
fill(dis+1,dis+n+1,INF);
dis[s]=0;
queue<int>Q;
Q.push(s);
inq[s]=1;
++cnt[s];
while(Q.size())
{
int x=Q.front();
Q.pop();
inq[x]=0;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nx)
{
int y=e[i].to,w=e[i].w;
if(dis[y]>=dis[x]+w)
{
dis[y]=dis[x]+w;
if(!inq[y])
{
Q.push(y);
inq[y]=1;
if(++cnt[y]>=11) // 0 circle
return 0;
}
}
}
}
return 1;
}
int add(int x,int y)
{
x+=y;
return x>=mod?x-mod:x;
}
bool vis[MAXN][MAXK];
int f[MAXN][MAXK];
int dfs(int x,int lim)
{
// cerr<<"dfsing "<<x<<" lim="<<lim<<endl;
if(lim<0)
return 0;
if(vis[x][lim])
return f[x][lim];
int&ans=f[x][lim]=(x==n);
for(int i=0;i<g[x].size();++i)
{
int y=g[x][i].first,w=g[x][i].second;
if(!cnt[y]) // not accessible to n
continue;
int delta=dis[y]+w-dis[x];
ans=add(ans,dfs(y,lim-delta));
}
vis[x][lim]=1;
// cerr<<" ans="<<ans<<endl;
return ans;
}
int main()
{
freopen("park.in","r",stdin);
freopen("park.out","w",stdout);
// freopen("park.err","w",stderr);
int T;
read(T);
while(T--)
{
init();
if(!SPFA(n)) // 0 circle
{
puts("-1");
continue;
}
// cerr<<"dis="<<endl;
// for(int i=1;i<=n;++i)
// cerr<<i<<" d="<<dis[i]<<endl;
for(int i=1;i<=n;++i)
fill(vis[i],vis[i]+k+1,0);
printf("%d\n",dfs(1,k));
}
return 0;
}
Hint
注意数组范围。