已知 $r_1=0,r_{100}=0.85,(r_k$ 表示投 k 次投中的概率.)
求证:(1)是否存在$n_0$使得$r_{n_0}=0.5$
(2)是否存在$n_1$使得$r_{n_1}=0.8$
分析:假设$r_1<0.8,r_2<0.8\cdots,r_{n_0}<0.8,r_{n_1}\ge0.8$ (第一次很重要)
$r_{n_0}=\dfrac{m_0}{n_0}<0.8,(\textbf{其中} m_0 \textbf{表示前} n_0 次投球中投中的次数),故5m_0<4n_0$
得$5(m_0+1)\le4(n_0+1)$,即$\dfrac{m_0+1}{n_0+1}\le\dfrac{4}{5}$
$\therefore \textbf{一定存在}r_{n_1}=0.8,(\textbf{其中}n_1=n_{0}+1),\textbf{否则},r_{n_0+1}\textbf{无论是}$
$\dfrac{m_0}{n_0+1}\textbf{还是}\dfrac{m_0+1}{n_0+1}\textbf{都小于}\dfrac{4}{5}\textbf{与}r_{n_1}\ge0.8\textbf{矛盾}.$