针对一些二维区间最值问题,用一维RMQ来解决显然是不够的。所以,要改进算法。鉴于网上没有PASCAL版的RMQ标程与解析,所以小可在这里简单的讲一下。
核心思想和一维的一样,只是在计算区间时略有不同。用数组F[i,j,k]表示以i,j为左上角的矩形,长度为(1 shl k),然后在循环时取四个矩形的最值,具体伪代码如下:
for k:=1 to x do // x为要处理矩形的最大边长的trunc(logmax)值
for i:=1 to n+1-(1 shl k) do
for j:=1 to m+1-(1 shl k) do //循环上和一维的一样,只是多加了一层而已
f[i,j,k]:=max(f[i,j,k-1],f[i+1 shl (k-1),j,k-1],f[i,j+1 shl (k-1),k-1],f[i+1 shl (k-1),j+1 shl (k-1),k-1]);
// 分成四块正方形计算
查询时和一维的一样,这里不再详讲。
总的时间复杂度为O(logN*N+M) 在这里将待处理矩形看做正方形,M为询问次数
提别提醒:因为循环次数较多,反复调用shl函数会导致常数变大,所以有时可以开一个数组预存要用到的值,以减少时间上的浪费。
"理想的正方形"就可以用以上方法完美的解决掉,时间略慢,附上代码
AC代码:
{
program zht;
var n,m,s,x,i,j,k,q,w,ans:longint;
f1,f2:array[0..1000,0..1000,0..7] of longint;
z:longint;
function mm(a,b:longint):longint;
begin if a>b then mm:=a else mm:=b;
end;
function max(a,b,c,d:longint):longint;
begin
max:=mm(mm(a,b),mm(c,d));
end;
function mmm(a,b:longint):longint;
begin
if a<b then mmm:=a else mmm:=b; end;
function min(a,b,c,d:longint):longint;
begin
min:=mmm(mmm(a,b),mmm(c,d));
end;
begin
assign(input,'square.in');
assign(output,'square.out');
reset(input);
rewrite(output);
readln(n,m,s);
for i:=1 to n do
for j:=1 to m do
begin
read(z);
f1[i,j,0]:=z;
f2[i,j,0]:=z;
end;
x:=trunc(ln(s)/ln(2));
for k:=1 to x do
for i:=1 to n+1-(1 shl k) do
for j:=1 to m+1-(1 shl k) do
begin
f1[i,j,k]:=max(f1[i,j,k-1],f1[i+1 shl (k-1),j,k-1],f1[i,j+1 shl (k-1),k-1],f1[i+1 shl (k-1),j+1 shl (k-1),k-1]); f2[i,j,k]:=min(f2[i,j,k-1],f2[i+1 shl (k-1),j,k-1],f2[i,j+1 shl (k-1),k-1],f2[i+1 shl (k-1),j+1 shl (k-1),k-1]);
end; // 两个存最值的数组预处理
ans:=maxlongint;
for i:=1 to n-s+1 do
for j:=1 to m-s+1 do
begin
q:=max(f1[i,j,x],f1[i+s-(1 shl x),j,x],f1[i,j+s-(1 shl x),x],f1[i+s-(1 shl x),j+s-(1 shl x),x]);
w:=min(f2[i,j,x],f2[i+s-(1 shl x),j,x],f2[i,j+s-(1 shl x),x],f2[i+s-(1 shl x),j+s-(1 shl x),x]);
ans:=mmm(q-w,ans); // 穷举顶点,计算最小差值
end;
writeln(ans);
close(input);
close(output);
end.
}
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