KD树小结

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很久之前我就想过怎么快速在二维平面上查找一个区域的信息,思考许久无果,只能想到几种优秀一点的暴力。

KD树就是干上面那件事的。

别的不多说,赶紧把自己的理解写下来,免得凉了。

KD树的组成

以维护k维空间(x,y,……)内的KD树为例,主要由一下三部分组成:

  1. p[k],代表树上这个结点所储存的点(在题目中给出的/你自己加上的点集中的一个点)。
  2. ch[2],表示它的子结点(没错,KD树是一棵二叉树)
  3. mi[k]与mx[k],mi/mx[i]代表KD树这个结点统辖的所有点的第i-1范围。比如说mi[1]=2,mx[1]=4,就代表这棵树统辖的点的y坐标都在[2,4]内。

不看mi和mx,长得就和splay/trie树一样,一个p维护当前节点,一个ch[2]记录左右儿子。

不看p[k],长得就和线段树一样,有左右儿子和区间信息。

没错,KD树功能如线段树,结点维护区域信息;形态如splay/trie树,每个结点有实际的值和意义。

KD树的构建

一般题目都是二维平面。下面就以二维平面KD树的构建为例。

读入把点存进结构体数组a中,坐标分别为a[x].p[i]。

inline void build(int &x,int l,int r,int type){
x=(l+r)>>;now=type;
nth_element(a+l,a+x,a+r+,cmp);
nd=a[x];newnode(x);
if(l<x)build(ch[x][],l,x-,type^);else ch[x][]=;
if(x<r)build(ch[x][],x+,r,type^);else ch[x][]=;
pushup(x);
} build(kd.root,,n,);

非常优美……对type、now作用不明的同学请继续阅读……你要现在就明白就奇怪了

系统函数nth_element(a+l,a+x,a+r+1),头文件algorithm,需定义<或cmp函数。

作用:把排序后第x大的放到第x位,比它小的放进左边,比它大的放进右边(两边无序)。

注意区间开闭:左闭右开,中间也是闭合的。

复杂度:平均,期望是O(n)?可以接受。

下面给出cmp、newnode、pushup代码。

struct Node{int p[],mi[],mx[];}a[N];
inline bool cmp(const Node &a,const Node &b){return a.p[now]<b.p[now];}
inline void Min(int &x,int y){x=x<y?x:y;}
inline void Max(int &x,int y){x=x>y?x:y;}
inline void pushup(int x){
int ls=ch[x][],rs=ch[x][];
if(ls){
Min(T[x].mi[],T[ls].mi[]);Max(T[x].mx[],T[ls].mx[]);
Min(T[x].mi[],T[ls].mi[]);Max(T[x].mx[],T[ls].mx[]);
}
if(rs){
Min(T[x].mi[],T[rs].mi[]);Max(T[x].mx[],T[rs].mx[]);
Min(T[x].mi[],T[rs].mi[]);Max(T[x].mx[],T[rs].mx[]);
}
} inline void newnode(int x){
T[x].p[]=T[x].mi[]=T[x].mx[]=nd.p[];
T[x].p[]=T[x].mi[]=T[x].mx[]=nd.p[];
}

不要问我为什么辣么长,为了减常冲榜,把循环展开了……

聪明的读者已经发现KD树的构建巧妙之处。它不是纯粹按照x维,或者某一维排序,而是先按x维,再按y维,再按z维,再……最后又回到x维……

这样分割的区域更加整齐划一更加均匀紧缩,不像上面的按照某一维划分,到最后变成一条条长条,KD树划分到底的图案还是很好看的。

这样分割有什么好处呢?等你真正领悟了KD树的精髓之后你就会发现……嘿嘿嘿……

(就是为了把这个暴力数据结构剪枝剪更多跑更快)

KD树的操作

1.往KD树上插点

插点可以分为插新点和插老点。如果有老点,特判一句,把信息覆盖即可。

inline void insert(int &x,int type){
if(!x){x=++cnt,newnode(cnt);return;}
if(nd.p[]==T[x].p[] && nd.p[]==T[x].p[]){
……(自行维护);return;
}
if(nd.p[type]<T[x].p[type])insert(ch[x][],type^);
else insert(ch[x][],type^);
pushup(x);
}

依然非常的美妙……等等有什么不对?

我们能估计出一棵刚建好的KD树深度是O(log)的。

但你这么随便乱插……有道题叫HNOI2017 spaly 插入不旋转的单旋spaly见过?T成苟。

这都不是问题!知不知道有一种数据结构叫做替罪羊树哇?

知道替罪羊树怎么保证复杂度的吗?

重构!大力重构!自信重构!不爽就重构!

为了省事大概每插入10000次就重构一次好了……

if(kd.cnt==sz){
for(int i=;i<=sz;++i)a[i]=kd.T[i];
kd.rebuild(kd.root,,sz,);sz+=;
}

2.在KD树上查询

  • 如果是单点(给定点)查询:

    • 太简单啦!把插入改改就阔以辣!
  • 如果是查询距离一个点(x',y')最近的点(曼哈顿距离,|x-x'|+|y-y'|):
    • 首先我们看暴力的剪枝:按某一维排序,如果该维的差过大就不管了。
    • 而令我们期待的KD树呢?呃不好意思,它也是这么做的……
    • 我们维护过两个叫做mi[]和mx[]的东西吧……这个时候就是它派上用场了。
    • 具体还请看代码吧:
      //查询的点(x',y')储存在nd中。
      //这里的l,r就是mi,mx的意思。
      inline int dis(Node p,int x,int ans=){
      for(int i=;i<;++i)
      ans+=max(,t[x].l[i]-p.p[i])+max(,p.p[i]-t[x].r[i]);
      return ans;
      } inline void query(int x){
      Ans=min(Ans,abs(t[x].p[]-nd.p[])+abs(t[x].p[]-nd.p[]));
      int dl=ch[x][]?dis(nd,ch[x][]):Inf;
      int dr=ch[x][]?dis(nd,ch[x][]):Inf;
      if(dl<dr){
      if(dl<Ans)query(ch[x][]);
      if(dr<Ans)query(ch[x][]);
      }
      else{
      if(dr<Ans)query(ch[x][]);
      if(dl<Ans)query(ch[x][]);
      }
      }
    • dis():如果当前点在这个区间内就是0,否则就是最极的点到它的距离。
    • 聪明绝顶的你已经发现了……这TM就是个暴力。
    • 其实这个数据结构就是一个暴力……
    • 当暴力有了时间复杂度证明……还叫暴力么?读书人的事,能叫偷么?
    • 这么暴力有几个好处:不用枚举所有点;剪枝有效及时。
    • 复杂度有保障,大概在O(√n)级别下,主要看数据。
  • 如果是区间查询,以区间查询点权和为例(之前就有维护好):
    • inline bool in(int l,int r,int xl,int xr){return l<=xl && xr<=r;}
      inline bool out(int l,int r,int xl,int xr){return xr<l || r<xl;} inline int query(int x,int x1,int y1,int x2,int y2){
      int ans=;if(!x)return ans;
      if(in(x1,x2,T[x].mi[],T[x].mx[]))
      if(in(y1,y2,T[x].mi[],T[x].mx[]))
      return T[x].sum;
      if(out(x1,x2,T[x].mi[],T[x].mx[]))return ;
      if(out(y1,y2,T[x].mi[],T[x].mx[]))return ;
      if(in(x1,x2,T[x].p[],T[x].p[]))
      if(in(y1,y2,T[x].p[],T[x].p[]))
      ans+=T[x].val;
      return ans+query(ch[x][],x1,y1,x2,y2)+query(ch[x][],x1,y1,x2,y2);
      }
    • 别看代码长又看起来复杂,写起来跟线段树似的,还是一样的暴力搞。

KD树的基本姿势大概就是这个样子……好写不好写错,基本上都是个板子。

附上学长的一(三)句话,从各方面进行了深度总结:

能不写最好还是不要写吧,轻松被卡→_→,也许可以出奇制胜?如果要写,重新构树是个不错的选择。发现大数据跑不过,多半是剪枝挂了。

还是给个链接……MashiroSky大爷

upd:以当前坐标差最大的来做type应该比轮换type更优秀……

例题有"SJY摆棋子"、"简单题"等,在此就不做赘述了。

比较有意思的应用就是【bzoj3489】 A simple rmq problem,正如上面所言,KD树解决传统数据结构题出奇制胜。

附上"BZOJ4066简单题"代码一份,操作是单点修改+矩形求和在线。

#include    <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <complex>
#include <stack>
#define LL long long int
#define dob double
#define FILE "bzoj_4066"
//#define FILE "简单题"
using namespace std; const int N = ;
int n,lst,now,sz=; inline int gi(){
int x=,res=;char ch=getchar();
while(ch>''||ch<''){if(ch=='-')res*=-;ch=getchar();}
while(ch<=''&&ch>='')x=x*+ch-,ch=getchar();
return x*res;
} inline void Min(int &x,int y){x=x<y?x:y;}
inline void Max(int &x,int y){x=x>y?x:y;}
struct Node{int p[],mi[],mx[],val,sum;}a[N];
inline bool cmp(const Node &a,const Node &b){return a.p[now]<b.p[now];}
struct KD_Tree{
int ch[N][],root,cnt;
Node T[N],nd; inline void pushup(int x){
int ls=ch[x][],rs=ch[x][];
if(ls){
Min(T[x].mi[],T[ls].mi[]);Max(T[x].mx[],T[ls].mx[]);
Min(T[x].mi[],T[ls].mi[]);Max(T[x].mx[],T[ls].mx[]);
}
if(rs){
Min(T[x].mi[],T[rs].mi[]);Max(T[x].mx[],T[rs].mx[]);
Min(T[x].mi[],T[rs].mi[]);Max(T[x].mx[],T[rs].mx[]);
}
T[x].sum=T[x].val;
if(ls)T[x].sum+=T[ls].sum;
if(rs)T[x].sum+=T[rs].sum;
} inline void newnode(int x){
T[x].p[]=T[x].mi[]=T[x].mx[]=nd.p[];
T[x].p[]=T[x].mi[]=T[x].mx[]=nd.p[];
T[x].sum=T[x].val=nd.val;
} inline void insert(int &x,int type){
if(!x){x=++cnt,newnode(cnt);return;}
if(nd.p[]==T[x].p[] && nd.p[]==T[x].p[]){
T[x].val+=nd.val;T[x].sum+=nd.val;
return;
}
if(nd.p[type]<T[x].p[type])insert(ch[x][],type^);
else insert(ch[x][],type^);
pushup(x);
} inline void rebuild(int &x,int l,int r,int type){
x=(l+r)>>;now=type;
nth_element(a+l,a+x,a+r+,cmp);
nd=a[x];newnode(x);
if(l<x)rebuild(ch[x][],l,x-,type^);else ch[x][]=;
if(x<r)rebuild(ch[x][],x+,r,type^);else ch[x][]=;
pushup(x);
} inline bool in(int l,int r,int xl,int xr){return l<=xl && xr<=r;}
inline bool out(int l,int r,int xl,int xr){return xr<l || r<xl;} inline int query(int x,int x1,int y1,int x2,int y2){
int ans=;if(!x)return ans;
if(in(x1,x2,T[x].mi[],T[x].mx[]))
if(in(y1,y2,T[x].mi[],T[x].mx[]))
return T[x].sum;
if(out(x1,x2,T[x].mi[],T[x].mx[]))return ;
if(out(y1,y2,T[x].mi[],T[x].mx[]))return ;
if(in(x1,x2,T[x].p[],T[x].p[]))
if(in(y1,y2,T[x].p[],T[x].p[]))
ans+=T[x].val;
return ans+query(ch[x][],x1,y1,x2,y2)+query(ch[x][],x1,y1,x2,y2);
} }kd; int main()
{
freopen(FILE".in","r",stdin);
freopen(FILE".out","w",stdout);
n=gi();
while(){
int type=gi();if(type==)break;
int x1=gi()^lst,y1=gi()^lst;
if(type==){
int A=gi()^lst;
kd.nd.p[]=x1;kd.nd.p[]=y1;
kd.nd.sum=kd.nd.val=A;
kd.insert(kd.root,);
if(kd.cnt==sz){
for(int i=;i<=sz;++i)a[i]=kd.T[i];
kd.rebuild(kd.root,,sz,);sz+=;
}
}
if(type==){
int x2=gi()^lst,y2=gi()^lst;
lst=kd.query(kd.root,x1,y1,x2,y2);
printf("%d\n",lst);
}
}
fclose(stdin);fclose(stdout);
return ;
}

简单题

04-21 06:34
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