为什么需要蒙特卡洛法积分呢？数学上，积分的解析解，往往需要求出被积分函数的原函数，这对于计算机是相当困难的，因此有了求积分的数值方法。
均匀采样
假设我们现在要求\(x^2\)在\([0,2]\)上的积分
如何计算这块面积呢，不妨将其看成“矩形”进行计算，矩形的宽为2，高为\(x^2\)在\([0,2]\)上的均值。
\[S=2*average(x^{2})\]
我们取越多的点来估算均值，获得的结果也越精确。
如何严格证明我们估算正确性呢？
下面是我们要估算的真实值，即\(x^2\)在\([0,2]\)上的积分
蒙特卡洛积分表述为以下形式：
则有：
由于估计量的数学期望等于被估计参数的真实值，所以我们的估计是无偏的。
非均匀采样
如果不按均匀采样，而是按\(p(x)\)的概率密度进行采样，同样也可以达到效果。
只是此时，f(x)还需要除以p(x)，相当于出现概率更大的点，计算时赋予的权重就低一点。
蒙特卡洛的积分形式为：
下面我们来证明其正确性
因此非均匀采样的估计也是无偏的。
蒙特卡洛积分
下面是一个蒙特卡洛积分的简单示例
#include <iostream>
using namespace std;
//被积函数
double test_func(float x){
return x * x;
}
inline double random() {
return rand() / (RAND_MAX + 1.0);
}
inline double pdf(double x){
return 3 * x*x / 8;
}
int main()
{
int N = 10000;
double sum = 0;
for (int i = 0; i < N; i++){
float x = pow(8 * random(), 1.0 / 3.0); //这里取CDF的反函数，详见上一篇文章
sum += test_func(x) / pdf(x); // 本篇所述，1/pdf(x)的权重
}
cout << "I =" << sum / N << endl;
return 0;
}
//输出：I =2.66667